Problema sulla gravitazione

[marfak]

Ciao a tutti.
Avrei bisogno, per cortesia, di un aiuto sul seguente problema:
Un punto materiale, soggetto solo alla forza gravitazionale, orbita attorno
ad un oggetto massivo (ossia di massa molto superiore
a quella del punto materiale), inizialmente su un'orbita circolare, con
periodo T. Esso viene improvvisamente arrestato nel suo moto, e
lasciato cadere verso la particella massiva. Dimostrare che il tempo
necessario per la collisione è

Un primo dubbio che ho è il seguente:
all'inizio il moto è circolare uniforme, e la quota a cui orbita il punto è


Poi il moto è di caduta libera...come fa a sparire il pigreco ?

Grazie a tutti coloro che leggeranno il mio post.
Marfak

[Andg94]

Il pi greco infatti non scompare, rimane: nell'uguaglianza il pi greco è presente in .
Ad ogni modo io per arrivare alla soluzione ero passato molto rapidamente per la terza legge di Keplero: considero la prima un'orbita circolare di tempo a distanza , mentre il moto di caduta lo assimilo ad un ellisse molto schiacciato di semiasse maggiore e di tempo (come aveva pensato Rgk93 qui: http://forumwww.cadnet.marche.it#46;oli ... =12&t=4434).
Perciò: , da cui .
Ovviamente la caduta avrà un tempo pari a metà di , ovvero:

[imagine]

Ovviamente la caduta avrà un tempo pari a metà di , ovvero:

Ma perché pari a metà di ? non dovrebbe essere pari a un quarto di ?

[Andg94]

Non per l' "ellisse" che ho preso in considerazione. Se l'eccentricità di un ellisse tende ad 1 allora l'asse minore tende a 0 (facendo degenerare la figura ad un segmento) mentre i due fuochi tendono a trovarsi agli estremi dell'asse maggiore.
Possiamo quindi assimilare il moto di caduta libera ad un ellisse degenerato in cui ad un estremo ci sarà il nostro corpo mentre nell'altro estremo (dato che questo combacerà con uno dei due fuochi del nostro "ellisse") vi è il corpo molto massivo (attorno al quale vi era l'orbita iniziale circolare).
Tuttavia per utilizzare la legge di Keplero dobbiamo considerare un tempo , che è il tempo che il corpo impiegherebbe per compiere l' "orbita" completa, e tornare quindi al suo punto iniziale, ovvero per percorrere . A noi ovviamente ci interessa solo il tempo impiegato per percorrere il tratto , che è per l'esattezza metà di .