Cronometriamo il giocoliere!

[Simone256]

Propongo questo problema facile visto che ci saranno molti ragazzi (come me) che aspettano un'occasione per scrivere la loro su questo forum!
Tratto da Halliday-Fisica 1
Stimare il ragionevole numero massimo di sfere che un giocoliere può palleggiare in aria con le due mani in funzione dell'altezza cui le sfere vengono lanciate sopra le mani

P.s. non abbiate paura a ricavarvi qualche dato da soli

[Triarii]

Ci provo!
(Trascuriamo ovviamente l'attrito dell'aria)
La pallina quando raggiunge altezza h ha energia pari a (ho posto lo 0 dell'energia potenziale al livello delle mani). Dunque quando parte da una mano deve avere un'energia cinetica
Calcoliamo ora il tempo che impiega per raggiungere l'altra mano. La distanza fra le mani è circa (o almeno credo ).
Poniamoci in un sistema casrtesiano con l'asse parallela al terreno.
La pallina segue un moto parabolico, quindi
, ossia l'angolo compreso fra la linea che congiunge il punto di massimo (che si trova a metà strada, quindi a sull'asse delle ascisse e quella che congiunge le mani. Con le similitudini possiamo dire che . Quindi e di conseguenza .
Ora sto ovviamente trascurando il fatto che le palline possono scontrarsi in aria.
Supponiamo ora che inizialmente il giocoliere tiri tutte le palline dalla stessa mano (facciamo la sinistra) verso l'altra. Chiaramente la prima pallina ritorna alla mano sinistra dopo un tempo pari a . In questo lasso di tempo la mano sinistra lanciava palline con una frequenza (ma forse se si è bravi bravi anche con frequenza maggiore, non me ne intendo di giocoleria). Quando la prima pallina ritorna tuttavia non possono essere lanciate ulteriori palline perchè la mano deve necessariamente lanciare quest'ultima. Quindi direi che il numero massimo di palline è dato da

[Simone256]

La distanza fra le mani è circa

Uuh questo non l'avevo davvero considerato... Anche se credo che sia un po' meno...

, ossia l'angolo compreso fra la linea che congiunge il punto di massimo (che si trova a metà strada, quindi a sull'asse delle ascisse e quella che congiunge le mani. Con le similitudini possiamo dire che .

.
Scusa qui ho un dubbio... E' un risultato approssimato? credo che il tempo sia lievemente maggiore perché l'angolo della velocità diminuisce con il tempo e all'inizio è massimo ed essendo tangente alla parabola non tocca il suo vertice! Potrei sbagliarmi... In ogni caso credo che come valore approssimato vada benissimo! Io non l'ho manco cagato

In questo lasso di tempo la mano sinistra lanciava palline con una frequenza (ma forse se si è bravi bravi anche con frequenza maggiore, non me ne intendo di giocoleria).

Qui io mi sono messo a cronometrarmi mentre giocolavo con ben 3 palline ... Ho stimato anche se suppongo che con l'aumentare del numero di palline la nostra frequenza diminuisca un pochino...

Quindi direi che il numero massimo di palline è dato da

Se poniamo esce identico al mio e se poniamo e il risultato viene identico a quello proposto dall'Halliday quindi presumo che la soluzione sia corretta... La tua forse addirittura qualcosa di più

[Triarii]

Riguardo al tuo dubbio sull'angolo.
Io ho calcolato la componente orizzontale della velocità iniziale: questa è costante durante tutto il tragitto (trascurando ovviamente l'attrito dell'aria), quindi nonostante l'angolo ovviamente diminuisca col tempo, la velocità orizzontale resta pari a quella iniziale. La componente verticale invece diminuisce col tempo per via dell'accelerazione gravitazionale rivolta verso il basso (ed è per questo che l'angolo cambia). Spero di non essermi sbagliato.
Poi sul trascurare L o meno ero incerto, però se l'Halliday dà quel risultato probabilmente è giusto
Tu invece come lo avevi risolto?

[Simone256]

, ossia l'angolo compreso fra la linea che congiunge il punto di massimo (che si trova a metà strada, quindi a sull'asse delle ascisse e quella che congiunge le mani.

A me era venuto il dubbio qui
Sto facendo anche una gran confusione e a quest'ora non ho voglissima di fare conti accurati... In ogni caso

Inizialmente tu hai trovato una velocità iniziale utilizzando l'energia cinetica e potenziale, questà velocità che hai ricavato corrisponde all'inizio della salita della sfera, quindi stiamo considerando la velocità della sfera nel momento in cui viene mollata dalla mano del giocoliere.
Se tracci la parabola del nostro moto parabolico la velocità iniziale è tangente alla traiettoria e credo che l'angolo che forma con l'asse delle ascisse sia maggiore di quello che tu hai chiamato . La velocità iniziale che hai calcolato non è bensì nel tuo moto parabolico... Perchè nel calcolo mediante un procedimento energetico riguarda esclusivamente una salita verticale visto che nel punto di massima altezza la sfera è dotata di energia cinetica (la nostra )... Il che manda tutto a boddane!
Inoltre ora che ci penso è indipendente dal tempo di volo... e pertanto lo è anche . Per il principio dei moti simultanei se consideriamo la sfera nel suo movimento verticale il suo tempo è determinato univocamente dalla velocità iniziale nella sua componente . Quindi (scusa ma non metto i conti... Sono un po accidioso )

Ebbene... Non ti assicuro la validità di quello che ho scritto... Anzi se mi fai notare eventuali errori mi correggo prima che qualche fisico mi prenda per il culo

[Triarii]

Oops Mi torna tutto quello che dici, hai perfettamente ragione.
L'unica cosa che non mi torna perfettamente è quando dici che è indipendente dal tempo di volo... Forse in questo caso non è pratico (dovremmo conoscere precisamente l'angolo e correggere il discorso energetico), ma se in generale tu conosci la gittata L di un proiettile, allora sai che . O sbaglio?

[Simone256]

E qui hai perfettamente ragione tu!
Forse intendevo dire che il tempo di volo è indipendente da ... In ogni caso... Errare è umano!
Dai ora attendo un problema (Umano) proposto da te! Cominciamo una versione fisica della staffetta dell'Oliforum!