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Un altro problemino abbastanza "strano" di cinematica relativistica, che è un argomento di solito poco presente alle olimpiadi, ma meglio tenersi in forma comunque, non si sa mai (vedi ipho 2006).

Abbiamo una strana lampadina unidimensionale e di lunghezza L (immaginate una lampada al neon), che emette luce di lunghezza d'onda variabile secondo la legge con . In pratica la luce spazza più o meno tutto lo spettro visibile ogni T secondi.
Tutte queste osservazioni sono fatte da un osservatore fermo rispetto alla lampadina.
Ora consideriamo un altro osservatore che osserva la lampadina muovendosi a velocità v lungo la direzione della sua lunghezza.
Che cosa vede?

Oppure (leggermente semplificato ma sostanzialmente uguale): la lampadina cambia colore in modo istantaneo ogni T secondi, diciamo da rosso a blu e viceversa. Come appare all'osservatore in movimento?

(può essere una buona occasione per scoprire o prendere confidenza coi diagrammi di Minkowski, che a volte semplificano parecchio la vita e i conti)

Ci provo nonostante di relatività ne sappia veramente poco e la maggior parte delle volte mi ci incasini .

Come al solito siano e

L'osservatore vede muoversi la lampadina verso di lui con una velocità v, percui la sua lunghezza gli apparirà essere .

E' presente anche un'effetto doppler relativistico, percui la frequenza della luce vista dall'osservatore in funzione di quella emessa dalla lampadina (nel suo sistema di riferimento) è: , percui le lunghezza d'onda osservate sono

La cosa più fica è che l'osservatore non vede arrivare dalla lampadina una luce monocromatica: la luce che parte da punti diversi della lampadina ci mette tempi diversi per arrivare all'osservatore, percui vedrà arrivare onde con differenti frequenze che si sovrappongono. Per calcolare queste differenze di tempo mi metto nel sistema di riferimento della lampada. Detto la distanza di un punto dall'estremità della lampada più vicina all'osservatore, la luce che parte da esso ci mette un tempo di più rispetto alla luce partita da l'estremità per raggiungere l'osservatore.

Con le trasformazioni di Lorentz ci possiamo ricavare quant'è questo tempo nel sistema di riferimento dell'osservatore:



In particolare, per , l'osservatore vede sempre tutte le frequenze che la lampada può emettere, modificate dall'effetto doppler.

Boh, ditemi voi.

Ammetto di essermi espresso un po' male nel testo; ciò che un osservaotre "vede" può essere inteso sia come ciò che osserva (i dati che può ricostruire dalle sue misure), sia come ciò che effettivamente, a livello ottico, "vede" (i raggi luminosi che gli arrivano). Ad esempio il problema del cubo che ho proposto qualche tempo fa riguardava appunto questi effetti ottici. Qui invece intendevo ciò "è davvero". E la tua risposta è effettivamente corretta (la lampada non appare monocromatica, ma con uno spettro continuo di colore variabile, praticamente un arcobaleno ) ma non per il ritardo della luce. Se l'osservatore "filtra" i dati che ottiene aggiungendo opportunamente il ritardo della luce, la lampadina continuerà a risultare non monocromatica. La lampadina presenta davvero più colori simultaneamente Perché? Uno strumento molto comodo e potente per vederlo sono i diagrammi di Minkowski: per caso li conoscete già?

Dunque, sperando di aver capito bene quello che intendi, direi che il fatto a cui è dovuto quest'effetto è la perdita di simultaneità in sistemi di riferimento diversi.
Ossia, consideriamo due punti diversi lungo la lampadina, e chiamiamo l'evento in cui il primo punto emmette luce di una certa frequenza (facciamo rossa) , e l'evento in cui il secondo punto emette luce rossa.
Ora, nel sistema di riferimento della lampadina, questi due eventi avvengono nello stesso momento, ma ciò non è vero nel sistema di riferimento dell'osservatore. Quindi il motivo percui l'osservatore vede la luce non monocromatica è proprio dovuto al fatto che essa non lo è nel suo sistema di riferimento.

Era questo che intendevi o ho proprio capito male?
(I diagrammi di Minkowski non li ho mai sentiti nominare )

Esatto. Quella è l'idea. Si può quantificare. I diagrammi di Minkowski sono uno strumento semplice e molto istruttivo per capire bene le trasformazioni di Lorentz e applicarle efficacemente a casi come questo. Un esempio molto noto (lo trovi anche su wikipedia) è quello della loro applicazione al paradosso dei gemelli.
In pratica disegni un grafico ct-x (tempo in ordinata, spazio in ascissa contrariamente al solito), ci rappresenti ciò che vedi e poi sovrapponi a questo il diagramma ct'-x' di un altro osservatore in moto, che puoi disegnare facilmente una volta che sai le trasformazioni di Lorentz: l'asse x' è una retta di pendenza , l'asse ct' di pendenza . In pratica gli assi si schiacciano attorno alla bisettrice (o si divaricano, se la velocità è nel verso delle x negative). A questo punto gli eventi simultanei per l'altro osservatore sono tutti quelli che stanno su una stessa parallela all'asse x'.
Nota: questo non aggiunge concettualmente NULLA a quello che si sa già, ma lo rende visualizzabile in modo molto facile. E poi i conti seguono in modo immediato con un minimo di geometria analitica.
Consiglio di prenderci un po' la mano, ammazzano quasi ogni problema di cinematica relativistica

Ippo ha scritto:Esatto. Quella è l'idea. Si può quantificare. I diagrammi di Minkowski sono uno strumento semplice e molto istruttivo per capire bene le trasformazioni di Lorentz e applicarle efficacemente a casi come questo. Un esempio molto noto (lo trovi anche su wikipedia) è quello della loro applicazione al paradosso dei gemelli.
In pratica disegni un grafico ct-x (tempo in ordinata, spazio in ascissa contrariamente al solito), ci rappresenti ciò che vedi e poi sovrapponi a questo il diagramma ct'-x' di un altro osservatore in moto, che puoi disegnare facilmente una volta che sai le trasformazioni di Lorentz: l'asse x' è una retta di pendenza , l'asse ct' di pendenza . In pratica gli assi si schiacciano attorno alla bisettrice (o si divaricano, se la velocità è nel verso delle x negative). A questo punto gli eventi simultanei per l'altro osservatore sono tutti quelli che stanno su una stessa parallela all'asse x'.
Nota: questo non aggiunge concettualmente NULLA a quello che si sa già, ma lo rende visualizzabile in modo molto facile. E poi i conti seguono in modo immediato con un minimo di geometria analitica.
Consiglio di prenderci un po' la mano, ammazzano quasi ogni problema di cinematica relativistica

Fantastici i diagrammi di Minkowski