Asta che gira

[Ippo]

Sia data un'asta sottile (praticamente unidimensionale) di lunghezza L e massa M, con un'estremità imperniata ad un motore che la mantiene in moto attorno ad un asse verticale a velocità angolare costante (cioè il vettore è costante e diretto verso l'alto) in modo che l'angolo tra l'asta e la verticale sia costante.
(praticamente l'asta girando descrive un cono nello spazio)

Ad un certo istante il vincolo viene rimosso e l'asta inizia a muoversi liberamente, sotto l'effetto della gravità. Descriverne (quantitativamente) il moto.

Nota: il problema viene da un compito di fisica I dell'università di Pisa di qualche anno fa, non è difficile ma tratta un argomento che generalmente non si vede né a scuola né alle olimpiadi. Ragionate sulla relazione tra il vettore velocità angolare e il vettore momento angolare...

[Eagle]

Un saluto a tutti gli iscritti del mese di aprile

Sfruttando l'hint fornito da Ippo e sperando di aver ragionato bene, il vettore momento angolare ha la caratteristica di essere parallelo al vettore velocità angolare . Ne consegue che il momento meccanico derivato dalla forza gravitazionale produce una variazione del momento angolare, difatti . Poiché è perpendicolare a , varierà soltanto in direzione e verso, ma non in modulo.
Quindi, in assenza di attriti, la velocità angolare dell'asta resterà costante, nonostante inizi a muoversi liberamente. Vale, allora, la relazione:



dove è il braccio della forza gravitazionale e la variazione di tempo tra l'istante in cui l'asta era legata al vincolo e l'istante in cui si è slegata da esso.

[Eagle]

Sulla base di ciò che ho scritto, sperando intensamente di non aver travisato il testo, l'asta continua a muoversi alla stessa velocità angolare e in assenza di attriti essa non cadrebbe mai.

P.S: Ringrazio Ippo per la sua prontezza e dedizione nella risposta all'ultimo messaggio.

[Ippo]

Sfruttando l'hint fornito da Ippo e sperando di aver ragionato bene, il vettore momento angolare ha la caratteristica di essere parallelo al vettore velocità angolare ..

ecco, il punto del problema è proprio che questo in generale è falso. Come ho scritto, la relazione generale tra e non è un argomentro che si vede prima dell'università; ma ragionando un po' sulla situazione fisica si può lo stesso ricavare la soluzione, anche senza conoscere veramente la teoria.

[Eagle]

Si vede che è un problema tratto da un compito universitario. In effetti avevo trascurato che il momento angolare si somma alla velocità angolare perché non è esattamente sull'asse di : questo provoca un'oscillazione che prende il nome di nutazione e che aumenta al diminuire della velocità di rotazione.

[Ippo]

Nella situazione iniziale imponiamo il vincolo quindi ignoriamo le nutazioni e tutte le altre complicazioni.
Un hint: se fosse (asta verticale) quanto varrebbe L? Se ne può dedurre qualcosa per il caso ?
Meditate gente, meditate....

[Gauss91]

Io l'unica cosa che sono riuscito per ora a trovare è, dalla definizione,
, dove a è il raggio di rotazione (ovviamente v si riferisce al centro di massa, così come a).
Il modulo è
.
Ovviamente per , il momento angolare è 0.
Non riesco a dire altro: derivando l'espressione vettoriale e porla uguale al momento della forza di gravità non mi porta a nulla.

[Pigkappa]

definizione,
, dove a è il raggio di rotazione (ovviamente v si riferisce al centro di massa, così come a).
Il modulo è

Mah, in realtà non è definito così il momento angolare. Il momento angolare, rispetto all'origine, di una particella di massa e velocità è in effetti:



Per un corpo di massa M che non sia esattamente una particella, il momento angolare non è detto che sia quello che dici tu.

[Gauss91]

Perdona l'ignoranza, ma cosa cambia da a ? Non sono vettori di ugual modulo e direzione e quindi uguali? Se sono uguali per ogni particella, se calcolo il momento angolare di un corpo rigido con una o con l'altra formula dovrei ottenere la stessa cosa, dato che si devono semplicemente sommare i momenti angolari di ogni particella. Dove sbaglio?

[Pigkappa]

Perdona l'ignoranza, ma cosa cambia da a ?

Non cambia niente, non era lì il problema.

Se sono uguali per ogni particella [...]

Allora forse non ho capito rispetto a quale punto hai calcolato il momento angolare. Se è il perno, direi che le molecole che sono molto vicine al perno hanno momento angolare più piccolo di quelle che sono lontano.


Oltre che per , anche per c'è un modo più facile per calcolare il momento angolare, e potresti usare questa cosa per vedere se il tuo risultato funziona per tale angolo.