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Un prototipo molto elementare di motore elettrico può essere costituito da una ruota conduttrice posta in un campo magnetico.
La ruota mostrata in figura è formata da un cerchione con 4 raggi uguali di lunghezza l, ciascuno di resistenza R, mentre la resistenza del resto del circuito è trascurabile.
Due contatti striscianti collegano l’asse e il cerchione ai poli di una batteria di f.e.m. V . Il campo magnetico B è uniforme e perpendicolare al piano verticale della ruota, uscente in figura.
1. Si determini la polarità della batteria e il
valore della f.e.m. della batteria affinchè il motore tenga sollevato l’oggetto di
massa M come indicato in figura.
2. Si dimostri che quando la ruota si muove a velocità angolare , ai capi di ciascun raggio si determina una
f.e.m. indotta , indicandone il verso, a seconda che la rotazione faccia salire o scendere l’oggetto
appeso al filo.
3. Messo in moto il motore, con , dopo una brevissima fase transitoria l’oggetto viene sollevato a velocità
costante; si calcoli tale velocità.
4. Calcolare il rendimento del motore a regime.
5. Se ad un certo istante il generatore viene escluso spostando il commutatore dalla posizione 1 alla 2, anche il
moto di caduta dell’oggetto avviene a velocità costante. Si calcoli la velocità nel moto di caduta frenato.
6. Durante il funzionamento la ruota del motore si scalda; supponendo di poter trascurare gli scambi di calore
con l’esterno, valutare se l’incremento di temperatura della ruota ad ogni giro è maggiore quando l’oggetto
viene sollevato o quando cade frenato.
Per i calcoli si usino i seguenti valori numerici:
, ,
, , .
Da Senigallia 2005.

1. La corrente che scorre, nella ruota, si suddividerà tra il cerchione e gli assi della stessa. Possiamo anche ignorare la corrente sul cerchione, dato che genera una forza magnetica in direzione radiale alla ruota (momento nullo). Si considerino, quindi, solo le correnti sugli assi, e chiamiamole . Non essendoci perdite di cariche, sarà . La forza magnetica su ogni asse è data dalla formula (in modulo) , corrispondente ad un momento meccanico per asse di . Il momento totale sulla ruota è quindi . Con la regola della mano destra si vede quindi che la corrente deve scorrere DAL CONTATTO SUL CERCHIONE A QUELLO AL CENTRO, altrimenti la forza magnetica farebbe calare il blocco. Sotto tali condizioni, il momento dato dal campo magnetico deve uguagliare quello dato dalla forza peso del blocco:
, quindi

, da cui, essendo i = 4V/R (gli assi possono essere visti come resistenze in parallelo: la resistenza di tutti gli assi è quindi R/4),
. Sostituendo i dati del problema si ottiene .

2. In ogni parte di asse, distante r dal centro, essendo v la velocità tangenziale di tale parte, si determina una f.e.m. indotta, f, data da
. Essendo nel nostro caso v variabile con r, si integra questo risultato ottenendo
. Per la legge di Lenz, questa f.e.m. si opporrà al moto della ruota, quindi il verso sarà diretto verso l'esterno se il blocco sta salendo; diretto verso il centro se sta scendendo.

3. Analogamente al punto 1, è e . Essendo la velocità angolare costante, deve essere . Quindi come al punto 1, . Ma stavolta, è , essendo composta dalla V del generatore e dalla f.e.m. indotta dal movimento della ruota, che è sempre frenante. Sostituendo si ha quindi
ed utilizzando i dati forniti si ha .

4. Anticipando che in questo ho una lacuna teorica, non sapendo come sia definito il rendimento di un motore elettrico, immagino e postulo che sia il rapporto tra la potenza sviluppata e quella fornita (se non è così, da questo momento in poi è tutto sbagliato, e a coloro che lo sanno il compito di mazzuolarmi per bene ).
Quindi, come si è postulato, . Sostituendo i dati del problema si ha .

5. Si genererà una f.e.m. indotta ai capi di ogni asse: la corrente indotta (che penso si chiami corrente di Foucault) che vi scorre è dunque . La corrente totale è , dato che la f.e.m. indotta è la stessa in ogni asse. Si ha quindi e di conseguenza . La velocità è costante, quindi . Risolvendo si ha
, che con i dati del problema dà .
Il punto 6 lo posto più tardi, mi aspetta una bella pizza!

6. Quando è sollevato, la potenza dissipata in calore è . Ad ogni giro viene quindi assorbita dalla ruota un'energia .
Quando cade frenato, la potenza dissipata in calore è . Ad ogni giro viene quindi assorbita dalla ruota un'energia . L'energia assorbita per giro nel primo caso è maggiore, quindi, a parità di giri, la temperatura della ruota sale maggiormente se il corpo viene sollevato, rispetto a se cade frenato.
Spero di non aver fatto troppi errori.

In effetti il punto sul rendimento non va: non so bene perchè, anche a me esce un risultato diverso (22%) da quello mostrato nella soluzione ufficiale del problema.
Conviene pensarci ancora un po' su.

E allora come è definito il rendimento di una macchina elettromagnetica? Non penso che sia
o come nelle macchine termiche, dato che in questo caso si hanno serie difficoltà ad interpretare le grandezze in gioco.
Con un puro gioco formale (insomma per fare la formula simile a quelle della termodinamica) potrebbe essere , dove U_E è l'energia sviluppata, quando al motore venga fornita un'energia U_F. Dividendo per dt numeratore e denominatore della frazione, sarà , ma ciò è molto strano dato che, in tal caso, se il motore sviluppa una potenza piccolissima quando gliene viene fornita una grandissima (insomma è altamente inefficiente, con tante dispersioni), il rendimento sarebbe paradossalmente vicino al 100%.
Per il resto comunque va bene?

Il rendimento del motore si può scrivere come
.
Ovviamente la potenza utile è quella impiegata per far salire il corpo appeso, quindi equivale a
,
mentre quella totale è la potenza elettrica erogata dal generatore al circuito.
In tal caso io l'ho definita come
,
dove V=0,25 V, mentre la corrente non è quella che effettivamente circola attraverso le resistenze, al netto della corrente creata dalla controforza elettromotrice dovuta al moto nel campo magnetico. La corrente i da considerare, a mio avviso, è
.
Per cui alla fine la potenza totale è
.
Alla fine il rendimento è
.
Come ho detto, questo non è il risultato corretto, ma non riesco a capire perchè.

Forse uno spunto utile potrebbe essere il modo in cui tu hai calcolato l'efficienza:

Gauss91 ha scritto: Quindi, come si è postulato, . Sostituendo i dati del problema si ha .

Potresti spiegare meglio la sostituzione posta subito prima del risultato?

Per il resto mi sembra tutto a posto, a parte qualche dubbio sulla parte conclusiva relativa al calore sviluppato nella salita e nella discesa.

Intanto anticipo che ci sono due errori di distrazione: la potenza effettiva non è (ovviamente) , bensì (u è la velocità di salita del blocco). Non so perché ho messo al quadrato, edito. Poi a denominatore il + va sostituito col -, edito. Utilizzando la stessa formula (corretta senza i quadrati e col -) mi viene e = 31%.
Poi la potenza non è come hai scritto tu , dato che si è chiamata v la velocità di discesa del blocco quando non è applicato il generatore al motore, caso che non si può considerare per calcolare l'efficienza del motore.

Il fatto che scrivi il rendimento come significa che il rendimento che ho postulato io è giusto, vediamo i passaggi.
La corrente sicuramente NON è , perché così non tieni conto della f.e.m. indotta, che si deve sommare a questa. La l'ho scritta nel punto 3. e vale (in virtù anche del risultato del punto 2). Quindi, la corrente sarà , mentre la potenza fornita sarà (dato che V è in ogni caso la ddp ai capi del generatore). Sostituendo vedrai che trovi la mia formula.

P.S.: ho anche editato le parti del secondo messaggio contenenti l'espressione errata della potenza. Dimmi ora cosa ne pensi