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Mi sono inventato un nuovo problemino che ho poi cercato di risolvere.
Non sono del tutto certo di esserci riuscito, ad ogni modo lo espongo nella speranza che possa interessare a qualcuno.

La locomotiva di un trenino elettrico è alimentata da una batteria non ricaricabile e corre lungo un binario circolare appoggiato su una piattaforma rigida rettangolare, posto in posizione eccentrica rispetto a essa (v. figura). La piattaforma è a sua volta appoggiata su una superficie liscia orizzontale sulla quale essa può muoversi senza attrito (es. su ghiaccio, da cui il titolo del topic ).
Siano date le seguenti ulteriori ipotesi:
1. locomotiva puntiforme di massa
2. piattaforma rettangolare omogenea di massa e dimensioni 2R x 4R
3. rotaia circolare di raggio R e di massa trascurabile, solidale con la piattaforma
4. le ruote della locomotiva rotolano di puro rotolamento sulla rotaia senza slittare
5. la locomotiva si muove con velocità di modulo costante rispetto alla rotaia (cioè il motore è in grado di adattare la propria potenza al carico mantenendo così la velocità relativa sempre costante, e si supponga pure controllabile la potenza dissipata in frenata sempre al fine di mantenere invariata la velocità)
Determinare:
1. l’angolo totale di cui ruota la piattaforma quando la locomotiva compie un giro completo della rotaia
2. l’energia di batteria consumata per ogni rotazione completa della locomotiva sulla rotaia (essendo la batteria non ricaricabile si deve supporre che da essa venga assorbita energia tutte le volte in cui il motore della locomotiva applica coppia motrice, mentre quando applica coppia frenante l’energia, non potendo venire recuperata, viene dissipata in calore; si trascuri ogni altra dissipazione d’energia per attrito)
3. la forza massima ortogonale alla rotaia esercitata dalle ruote della locomotiva.

Eseguire i calcoli numerici supponendo =1kg, =3kg, R=1m, =1m/s

Ehi, ma questo esercizio non attizza proprio nessuno???

Eppure mi pareva interessante...

Falco5x ha scritto:Eppure mi pareva interessante...

anche a me ci penso un po' su...

Dei 5 gradi di libertà del sistema due sono eliminati dalla condizione di quiete del centro di massa e uno dal vincolo che la locomotiva stia sulla rotaia; ci si può ridurre, ad esempio, alle variabili angolari e che individuano l'orientazione della piattaforma rispetto alla direzione originaria e la posizione della locomotiva sul cerchio (variabile che ha il vantaggio di essere una funzione lineare del tempo: ). A questo punto in linea di principio dobbiamo solo risolvere l'equazione del moto, valutare tra e e ottenere . La complessità dei calcoli però esplode rapidamente. C'è forse qualche metodo furbo?

No, per calcolare l'angolo non mi pare ci siano metodi furbi oltre a fare l'integrale della velocità angolare nel tempo.

Visto che nessuno si cimenta posterò (a puntate) la mia soluzione, nella speranza che sorgano domande o contestazioni interessanti.

1.Determinazione della velocità angolare della piattaforma rispetto a un sistema fisso solidale col terreno (ghiaccio)

Fissiamo un sistema di riferimento relativo solidale alla piattaforma e centrato sul suo centro geometrico che coincide col suo CM. Le grandezze maiuscole sono riferite a questo sistema relativo. Fissiamo poi un sistema assoluto solidale con il centro di massa dell’intero sistema treno+piattaforma, situato sul segmento che congiunge il treno con il CM della piattaforma. Rispetto a questo sistema assoluto le grandezze vengono rappresentate con lettere minuscole. Essendo il sistema treno+piattaforma non soggetto a forze orizzontali esterne, la posizione del baricentro (supposto in quiete) rimane sempre immutata, dunque il sistema assoluto scelto è inerziale. Detto il vettore posizione del treno e detto il vettore posizione del centro di massa della piattaforma rispetto a questo sistema assoluto, sia il vettore posizione del treno rispetto al sistema relativo. Tra questi vettori sussistono le seguenti relazioni:




ovvero posto si ha:





Passiamo adesso a considerare la relazione tra la velocità del treno nel sistema relativo e la velocità nel sistema assoluto.
Il sistema assoluto vede un sistema relativo (solidale con la piattaforma) il cui centro di massa si muove con velocità e inoltre può ruotare con velocità angolare . Rispetto a questo sistema relativo il treno si muove con velocità di modulo costante. La relazione dunque tra queste velocità è la seguente:



La conservazione della quantità di moto nel sistema assoluto richiede anche che tra le velocità assolute del treno e del centro di massa della piattaforma sussista la seguente relazione:



da cui unendo le due relazioni si trova la seguente:



Questa relazione è esattamente quella del moto rotatorio, modificato da un opportuno valore di scala H.
Per utilizzare questa formula è adesso necessario ricavare . Per farlo occorre applicare la conservazione del momento angolare nel sistema assoluto:



da cui isolando le componenti trasversali delle velocità si ha:



e operando le necessarie sostituzioni si ricava quanto segue:



Questa formula mette in relazione la velocità angolare della piattaforma con la velocità e la posizione relativa del treno.
Il momento d’inerzia della piattaforma rispetto al suo baricentro è:



Operando adesso nel sistema relativo, con riferimento alla traiettoria circolare indicata è possibile mettere in relazione la lunghezza del vettore posizione del treno con l’angolo tra il suddetto vettore e il segmento :



Sostituendo nell’espressione della velocità angolare questo valore si ottiene:



ovvero, ponendo e osservando che la velocità trasversale può anche essere scritta , dove in questo caso il modulo della velocità va considerato costante, in definitiva è possibile far dipendere la velocità angolare della piattaforma da un solo parametro, ovvero l’angolo nel sistema relativo: