Visto che nessuno si cimenta posterò (a puntate) la mia soluzione, nella speranza che sorgano domande o contestazioni interessanti.
1.Determinazione della velocità angolare della piattaforma rispetto a un sistema fisso solidale col terreno (ghiaccio)
Fissiamo un sistema di riferimento relativo solidale alla piattaforma e centrato sul suo centro geometrico che coincide col suo CM. Le grandezze maiuscole sono riferite a questo sistema relativo. Fissiamo poi un sistema assoluto solidale con il centro di massa dell’intero sistema treno+piattaforma, situato sul segmento che congiunge il treno con il CM della piattaforma. Rispetto a questo sistema assoluto le grandezze vengono rappresentate con lettere minuscole. Essendo il sistema treno+piattaforma non soggetto a forze orizzontali esterne, la posizione del baricentro (supposto in quiete) rimane sempre immutata, dunque il sistema assoluto scelto è inerziale. Detto
il vettore posizione del treno e detto
il vettore posizione del centro di massa della piattaforma rispetto a questo sistema assoluto, sia
il vettore posizione del treno rispetto al sistema relativo. Tra questi vettori sussistono le seguenti relazioni:
ovvero posto
si ha:
{{\vec R}_T})
Passiamo adesso a considerare la relazione tra la velocità del treno nel sistema relativo e la velocità nel sistema assoluto.
Il sistema assoluto vede un sistema relativo (solidale con la piattaforma) il cui centro di massa si muove con velocità
e inoltre può ruotare con velocità angolare
. Rispetto a questo sistema relativo il treno si muove con velocità
di modulo costante. La relazione dunque tra queste velocità è la seguente:
La conservazione della quantità di moto nel sistema assoluto richiede anche che tra le velocità assolute del treno e del centro di massa della piattaforma sussista la seguente relazione:
da cui unendo le due relazioni si trova la seguente:
Questa relazione è esattamente quella del moto rotatorio, modificato da un opportuno valore di scala H.
Per utilizzare questa formula è adesso necessario ricavare
. Per farlo occorre applicare la conservazione del momento angolare nel sistema assoluto:
 = - {\vec r_T} \times \left( {{m_T}{{\vec v}_T}} \right))
da cui isolando le componenti trasversali delle velocità si ha:
e operando le necessarie sostituzioni si ricava quanto segue:
Questa formula mette in relazione la velocità angolare della piattaforma con la velocità e la posizione relativa del treno.
Il momento d’inerzia della piattaforma rispetto al suo baricentro è:
}^2} + {{\left( {4R} \right)}^2}} \right) = 5{m_T}{R^2})
Operando adesso nel sistema relativo, con riferimento alla traiettoria circolare indicata è possibile mettere in relazione la lunghezza del vettore posizione del treno
con l’angolo
tra il suddetto vettore e il segmento
:
Sostituendo nell’espressione della velocità angolare questo valore si ottiene:
ovvero, ponendo
e osservando che la velocità trasversale può anche essere scritta
, dove in questo caso il modulo della velocità va considerato costante, in definitiva è possibile far dipendere la velocità angolare della piattaforma da un solo parametro, ovvero l’angolo nel sistema relativo:
).
ci penso un po' su...