1)il valore dell'induttanza
2)gli estremi di oscillazione se inizialmente la barretta si trova in quiete all'altezza y=0
3)il valore massimo della corrente
Induttanza inclinata
Induttanza inclinata
Due guide parallele distanti l=10 cm sono poste su un piano inclinato di un angolo pari a 30° e sono chiuse ad un estremo da un'induttanza. Lungo le guide può scorrere senza attrito una sbarretta conduttrice di massa m=20 g che chiude il circuito ed è sottoposta alla propria forza peso. Il sistema è immerso in un campo magnetico uniforme e costante diretto verso l'alto e di intensità 2T. Sapendo che la pulsazione associata alla barretta è 
calcolare:
1)il valore dell'induttanza
2)gli estremi di oscillazione se inizialmente la barretta si trova in quiete all'altezza y=0
3)il valore massimo della corrente
1)il valore dell'induttanza
2)gli estremi di oscillazione se inizialmente la barretta si trova in quiete all'altezza y=0
3)il valore massimo della corrente
Re: Induttanza inclinata
Provo a risolvere il primo quesito...
Sulla sbarretta agiscono la forza peso e la forza magnetica. inoltre uno spostamento della sbarretta causa una variazione nel flusso magnetico e quindi una f.e.m. indotta nel circuito.
Fisso come verso positivo positivo delle forze e delle velocità quello che va verso il basso. per cui quando la velocità è positiva la corrente indotta è positiva e circola in verso antiorario e di conseguenza la forza dovuta al campo magnetico è negativa
il flusso magnetico attraverso l'area delimitata dalla sbarretta è=Bl\cos30x(t))
da cui si ha
}{dt}=Bl\cos30v(t))
Applicando il teorema della maglia al circuito sbarretta+induttanza si ottiene
=L\frac{di}{dt} \qquad (a))
La componente y del campo magnetico esercita sulla sbarretta una forza lungo l'asse x. quindi l'accelerazione della sbarretta lungo l'asse x è
}{m})
Derivando entrambi i membri della (a) rispetto a t si ricava
=L\frac{d^2i}{dt^2})
Da quest'equazione differenziale si ricava che la corrente oscilla armonicamente, con pulsazione
A questo punto ho pensato che siccome la velocità e la corrente sono legate da una relazione lineare, allora anche la velocità oscilla armonicamente, e quindi oscilla anche la sbarretta, con la stessa pulsazione della corrente.
Quindi si può ricavare l'induttanza L
Spero di non aver commesso errori. magari per gli altri due punti ci penso un pò su
Sulla sbarretta agiscono la forza peso e la forza magnetica. inoltre uno spostamento della sbarretta causa una variazione nel flusso magnetico e quindi una f.e.m. indotta nel circuito.
Fisso come verso positivo positivo delle forze e delle velocità quello che va verso il basso. per cui quando la velocità è positiva la corrente indotta è positiva e circola in verso antiorario e di conseguenza la forza dovuta al campo magnetico è negativa
il flusso magnetico attraverso l'area delimitata dalla sbarretta è
Applicando il teorema della maglia al circuito sbarretta+induttanza si ottiene
La componente y del campo magnetico esercita sulla sbarretta una forza lungo l'asse x. quindi l'accelerazione della sbarretta lungo l'asse x è
Derivando entrambi i membri della (a) rispetto a t si ricava
Da quest'equazione differenziale si ricava che la corrente oscilla armonicamente, con pulsazione
A questo punto ho pensato che siccome la velocità e la corrente sono legate da una relazione lineare, allora anche la velocità oscilla armonicamente, e quindi oscilla anche la sbarretta, con la stessa pulsazione della corrente.
Quindi si può ricavare l'induttanza L
Spero di non aver commesso errori. magari per gli altri due punti ci penso un pò su
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Ultima modifica di Rigel il 23 mar 2009, 23:07, modificato 1 volta in totale.
Re: Induttanza inclinata
Eccomi di nuovo qui! 
Con una soluzione ancora più contosa della precedente . spero solo di non annoiarvi con tutti questi calcoli.
Magari scrivo prima la soluzione del 3) e poi quella del 2) in un altro post, per non avere problemi.
Riscrivo l'equazione differenziale sopra così:
)
Dove ovviamente è
e 
.
L'espressione della corrente in funzione del tempo è=i_m\cos\omega t +c)
dove 
è il valore massimo della corrente e c una costante da determinare. sostituendo nella (b) si ottiene:
Da qui si ricava
come avevo già scritto sopra, senza dimostrarlo, e 
Poichè=0)
si vede che
Quest'equazione dimostra anche che l'andamento della corrente è cosinusoidale e non sinusoidale. inoltre si può ricavare il valore massimo della corrente
Dove il segno meno è una pura convenzione e indica che la corrente scorre in senso orario.
Con una soluzione ancora più contosa della precedente . spero solo di non annoiarvi con tutti questi calcoli.Magari scrivo prima la soluzione del 3) e poi quella del 2) in un altro post, per non avere problemi.
Riscrivo l'equazione differenziale sopra così:
Dove ovviamente è
L'espressione della corrente in funzione del tempo è
Da qui si ricava
Poichè
Quest'equazione dimostra anche che l'andamento della corrente è cosinusoidale e non sinusoidale. inoltre si può ricavare il valore massimo della corrente
Dove il segno meno è una pura convenzione e indica che la corrente scorre in senso orario.
Re: Induttanza inclinata
E adesso il numero 2
Innanzitutto riscrivo l'intensità di corrente come:
=\frac{mg}{Bl}\tan30(1-\cos\omega t))
Ora sostituisco tale espressione in quella dell'accelerazione
=)
Pertanto risulta, essendo anche=0)
=\int_{v_0}^{v}{dv}=\int_{0}^{t}{g\sin30\cos\omega tdt}=\frac{g\sin30}{\omega}(\sin\omega t-\sin0)=)
Dall'espressione della velocità (lungo l'asse x) si può risalire a quella dello spostamento lungo l'asse x:
)
=\int{v(t)dt}=\int{\frac{g\sin30}{\omega}\sin\omega tdt}=-\frac{g\sin30}{\omega^2}\cos\omega t +c)
Dove c è una costante da determinare. Siccome si è fissato il sistema di riferimento in modo che sia=0)
, allora si ha:
Quindi si ricava l'espressione di x:
=\frac{g\sin30}{\omega^2}(1-\cos\omega t))
Gli estremi di oscillazione sono
e 
, per cui l'ampiezza di oscillazione è
é interessante notare che durante le sue oscillazioni la sbarretta non torna più in alto della posizione iniziale, in accordo con la conservazione dell'energia. si può anche verificare che quando la sbarretta si trova nel punto d'oscillazione più basso, con energia cinetica nulla, la variazione di energia potenziale gravitazionale si è interamente tradotta un accumulo di energia nel campo magnetico dell'induttanza.
Innanzitutto riscrivo l'intensità di corrente come:
Ora sostituisco tale espressione in quella dell'accelerazione
Pertanto risulta, essendo anche
Dall'espressione della velocità (lungo l'asse x) si può risalire a quella dello spostamento lungo l'asse x:
Dove c è una costante da determinare. Siccome si è fissato il sistema di riferimento in modo che sia
Quindi si ricava l'espressione di x:
Gli estremi di oscillazione sono
é interessante notare che durante le sue oscillazioni la sbarretta non torna più in alto della posizione iniziale, in accordo con la conservazione dell'energia. si può anche verificare che quando la sbarretta si trova nel punto d'oscillazione più basso, con energia cinetica nulla, la variazione di energia potenziale gravitazionale si è interamente tradotta un accumulo di energia nel campo magnetico dell'induttanza.
Re: Induttanza inclinata
Non capisco tanto questo punto... senza induttanza cosa si otterrebbe applicando la legge dei nodi?Rigel ha scritto: il flusso magnetico attraverso l'area delimitata dalla sbarretta è
Applicando la legge dei nodi al circuito sbarretta+induttanza si ottiene
(è il primo punto quindi, volendo, puo rispondermi chiunque senza la briga di dover leggere tutta la soluzione
)Re: Induttanza inclinata
Rispondo io. Ho il leggero sospetto che la mia "sintetica" soluzione dissuada dal leggere il topic.
Per prima cosa devo correggermi perchè ho usato il teorema della maglia e non la legge dei nodi
vedrò di correggere
Se non ci fosse l'induttanza nel circuito, l'equzione diventerebbe
il cui unico significato dal punto di vista fisico potrebbe essere che, essendo nulla per ipotesi (così ho inteso io) la resistenza del circuito anche la d.d.p. che vi è applicata è nulla. ovviamente tale situazione è puramente ipotetica.
ora provo a vedere che succede alla sbarretta se non c'è induttanza e se trovo qualcosa lo posto
soluzione dissuada dal leggere il topic.Per prima cosa devo correggermi perchè ho usato il teorema della maglia e non la legge dei nodi
vedrò di correggereSe non ci fosse l'induttanza nel circuito, l'equzione diventerebbe
ora provo a vedere che succede alla sbarretta se non c'è induttanza e se trovo qualcosa lo posto
Re: Induttanza inclinata
Ho difficoltà a capire il ruolo dell'induttanza nel circuito in questione (direi perchè è un argomento che mi son visto solo pochi giorni fa). Mi son quindi chiesto con la sua assenza cosa cambierebbe. Ha forse un ruolo di resistenza?
Con la presenza dell'induttanza la forza elettromotrice indotta dal campo B esterno tra quali punti si instaura?
Ti prego di farmi più chiarezza circa questi dubbi
Con la presenza dell'induttanza la forza elettromotrice indotta dal campo B esterno tra quali punti si instaura?
Ti prego di farmi più chiarezza circa questi dubbi
Re: Induttanza inclinata
La forza elettromotrice indotta, senza l'induttanza, si instaurerebbe tra gli estremi della sbarretta; il circuito però sarebbe aperto, quindi non scorrerebbe corrente, non ci sarebbe forza magnetica sulla sbarretta e questa cadrebbe soggetta solo alla forza peso e alla reazione delle guide. L'induttanza serve in primo luogo a chiudere il circuito; in secondo luogo fornisce la ddp che bilancia la fem indotta.
L'ipotesi che la resistenza di tutto l'affare sia nulla è chiaramente irrealistica; in realtà scorrerebbe una corrente finita anche se le due guide fossero solo cortocircuitate.
L'ipotesi che la resistenza di tutto l'affare sia nulla è chiaramente irrealistica; in realtà scorrerebbe una corrente finita anche se le due guide fossero solo cortocircuitate.