Esplosioni Coulombiane

[Pigkappa]

Una nuvola sferica di raggio R e carica totale Q è costituita da N particelle di carica q = Q/N e massa m, distribuite a t = 0 con densità uniforme.

a)Calcolare l'energia potenziale di una carica posta a distanza dal centro della nuvola.

Per effetto della repulsione coulombiana, la nuvola inizia ad espandersi radialmente, mantenendo la simmetria sferica. Nel corso del moto radiale, le particelle non si scavalcano, cioè se inizialmente due strati di particelle si trovano alle distanza dal centro, ad ogni istante sarà .

b)Si discutano tali ipotesi.
c)Sia la posizione al tempo delle particelle che a sono a distanza dal centro. Mostrare che l'equazione del moto per è:



d)Si dica a che distanza dal centro si trovano inizialmente le particelle che acquistano la massima energia cinetica durante l'espansione, e si dia il valore di tale energia massima.
e)Si mostri che la densità di carica della nuvola rimane uniforme durante l'espansione.

[MrTeo]

Provo il primo punto: per i teoremi dei gusci tutte le cariche posizionate in generano all'interno della loro distribuzione di carica omogenea a simmetria sferica un campo elettrico nullo. Quelle all'interno per gli stessi teoremi possono essere considerate come un'unica carica al centro della sfera che vale :





Gli altri mi paiono un tantino off-limits

[Pigkappa]

Mi piacerebbe vedere un potenziale che si annulla all'infinito (è più comodo, per fare le domande successive, scegliere la costante così; inoltre è una buona convenzione quella di mettere il potenziale nullo all'infinito, ed è meglio rispettarla se non ci sono particolari motivi per non farlo), e penso anche che il potenziale abbia due espressioni diverse per i punti dentro la sfera e per quelli fuori.

Nota: le domande b), c) e d) secondo me sono più facili della a).

[MrTeo]

Mi piacerebbe vedere un potenziale che si annulla all'infinito (è più comodo, per fare le domande successive, scegliere la costante così; inoltre è una buona convenzione quella di mettere il potenziale nullo all'infinito, ed è meglio rispettarla se non ci sono particolari motivi per non farlo), e penso anche che il potenziale abbia due espressioni diverse per i punti dentro la sfera e per quelli fuori.

Intendi questo?



In effetti la mia espressione originale per mi dà un potenziale infinito e si vede subito che non vale per punti esterni, l'avevo pensata subito come se dovessimo lavorare con , ma il testo in effetti non lo dice

[Pigkappa]

Il risultatoper r < R ancora non è corretto. I teoremi dei gusci valgono per il campo elettrico, ma non per il potenziale.

Mi spiego meglio. Se vuoi il campo elettrico a distanza quello che fai è semplicemente calcolare la forza su una carica di prova posta a distanza ; siccome sappiamo che in questo caso le cariche che si trovano a una distanza maggiore di non modificano questa forza, usiamo il teorema dei gusci.
Invece, calcolare il potenziale a distanza significa trovare il lavoro che si deve fare per portare una carica dall'infinito fino a distanza dal centro; è chiaro che, per fare questo, dobbiamo anche coinvolgere il campo elettrico a distanza maggiore di , e quindi tutte le cariche.

Potresti applicare il teorema dei gusci per il potenziale se scegliessi di porre il potenziale uguale a zero nel centro della nuvola, ma il tuo potenziale tende a per . Questo ti dovrebbe anche far intuire che il tuo risultato è sbagliato. La distribuzione di cariche sembra abbastanza innocua, perciò sarebbe strano se fosse necessaria energia infinita per portare una carica di prova al centro della nuvola (d'altra parte sappiamo che il campo elettrico nella nuvola cresce linearmente con il raggio, perciò vicino al centro tende a zero, e quindi spostare una carica in quella zona non dovrebbe essere troppo difficile).

[pascal]

Ho un po’ di tempo per calcolare l’energia potenziale iniziale di q per :



Poiché si pone uguale a zero si ha:

[Pigkappa]

visto che è passato ormai qualche giorno e nessuno ha più provato a risolvere il problema (male!), vi dò la soluzione. E' il problema 1 che si raggiunge dalla http://www.df.unipi.it/~macchi/ (teaching - classical electrodynamics - fisica b1A - problemi svolti b1). Molti dei problemi che sono lì non sono adatti a questo forum, ma forse qualcun altro che potete fare c'è.

[pascal]

Trascrivo soltanto qualche parte diversa della mia soluzione rispetto a quella indicata.
La carica q che all’inizio si trova alla distanza sente la forza che compie il lavoro , uguale all’energia cinetica di q. Si calcola la velocità e si ottiene:
, in cui s è una costante. Ponendo ed integrando per n da 1 a N, si ottiene il tempo perchè la q passi da a . Il tempo per avere non dipende da , ma è legato ad N, quindi tutte le particelle della nuvola dopo il tempo t hanno amplificato la distanza di N. La nuova densità di carica vale:

ed è costante nella nuvola come .

L’energia cinetica si può scrivere nella forma che diventa massima per N che tende ad infinito e per , ovvero sono le cariche della superficie della nuvola ad avere l’energia cinetica finale maggiore uguale a .

[pascal]

Mi sembra istruttivo anche il seguente modo di calcolare l’energia cinetica, partendo dall’energia potenziale U di tutta la nuvola ed utilizzando la densità di energia .

dove è l’elemento di volume

Considerando i campi elettrici interni () ed esterni () alla sfera, si ottiene:



che integrata fornisce

Siccome la distribuzione di cariche rimane uniforme anche negli istanti successivi, la U assume la stessa dipendenza dal raggio della sfera e, dunque, si annulla all’infinito. Quindi tutta l’energia potenziale iniziale diventa cinetica alla fine. La nuvola espansa ha un’energia cinetica dove è la densità massica. Siano e le distanze dal centro di una q generica e di una q superficiale alle velocità rispettive v e , si ha:

e derivando rispetto al tempo si ricava:



dove indica la derivata di N(t) rispetto al tempo.

Rapportando le precedenti si ha da cui si nota che le particelle periferiche sono le più veloci.
Quindi l’energia cinetica del sistema vale:



La massa della sfera è che sostituita nella precedente fornisce:

.

Dividendo per il numero di particelle si ottiene l’energia cinetica finale di una carica periferica del sistema:

.