Campo magnetico nella cavità di un filo

[Ippo]

Riprendo il quesito di magnetismo emerso nel topic sulle domande degli orali SNS e lo amplio un pochetto, sulla falsariga di un problemino ipho del '96 se non sbaglio.

Allora abbiamo lo stesso conduttore cilindrico infinito con una cavità cilindrica non coassiale con esso. Il centro della cavità dista dal centro del cavo. Nel cavo scorre una corrente di densità j nota. Determinare il (vettore) campo magnetico in tutti i punti della cavità.

Esercizio molto istruttivo sull'uso dei vettori (niente di che, la morale della favola è che scomporre in componenti le equazioni vettoriali non è sempre la strada più conveniente).

[Davide90]

Ci provo, non escludo di dire fesserie.

Consideriamo innanzitutto un cavo cilindrico di lunghezza infinita e raggio , percorso da una corrente costante con densità uniforme lungo una sezione del cavo.
Calcoliamo il campo magnetico generato a distanza dall'asse del cavo, con . Per la simmetria cilindrica della distribuzione della corrente, anche il campo magnetico presenterà simmetria cilindrica. Dunque, applicando la legge di Ampère a una circonferenza ampèriana di raggio r, otteniamo

dove è perpendicolare al vettore e a . Quindi in notazione vettoriale otteniamo


Prendiamo ora il nostro simpatico problemino.
Consideriamo l'assenza di corrente nella cavità, come se alla corrente all'interno del cavo conduttore aggiungessimo una corrente nello stesso verso: per il principio di sovrapposizione, il risultato è identico.
Allora per trovare B in un punto P della cavità applichiamo la [2] per entrambe le correnti, e poi il principio di sovrapposizione. Otteniamo quindi, indicando con il raggio della cavità:
.
Può avere senso quello che ho detto?

[Rigel]

Quello di sostituire la corrente, nulla, nella cavità con la somma di due correnti opposte è il trucco alla base del problema.
forse è meglio non usare la corrente i, variabile, ma la densità di corrente j e quindi il campo magnetico nella cavità è dato dalla somma di due campi magnetici, calcolati col metodo di Davide90: e , con e le distanze del punto dal centro del cavo e della cavità.
dunque
dove si è usato che .
quindi il campo è uniforme e perpendicolare sia a j che ad a. questo vale solo nei punti della cavità, perchè all'esterno il campo da essa generato non è più proporzionale a r, ma rimane costante.

[Ippo]

esattamente