Energia elettrica in un condensatore cilindrico - Halliday

Davide90 · Messaggio da **Davide90** » 20 set 2009, 16:37

$\verb!Halliday!, \text{capitolo $25$, versetto $46$}$
Si dimostri che metà dell'energia potenziale elettrica immagazzinata in un condensatore cilindrico di raggi $a$ e $b$ si trova in un cilindro il cui raggio è $\sqrt{ab}$ .

Messaggio da **Ippo** » 20 set 2009, 20:29

Assumendo di poter trascurare gli effetti di bordo abbiamo che il campo è $E=A/r$ con A costante opportuna. Lo si ottiene applicando Gauss a superfici cilindriche coassiali col condensatore.
Quindi abbiamo che la densità di energia immagazzinata nel campo elettrico vale $u(r)={1 \over 2} \epsilon_0 E^2={\epsilon_0 A^2 \over 2 r^2$ .
Allora l'energia immagazzinata nel condensatore è
$U={\epsilon_0 A^2 \over 2}\int_a^b {2 \pi r L dr \over r^2}=B \int_a^b{dr \over r}$ dove B è un'altra costante opportuna, la L che compare ad un certo punto è l'altezza del cilindro e il procedimento consiste semplicemente nel calcolare l'energia in un piccolo guscio cilindrico e integrare. Noi cerchiamo c tale che ${U \over 2}=B\int_a^c {dr \over r}$

Ma allora ci basta porre $\int_a^b{dr \over r}=2 \int_a^c{dr \over r}$ cioé $\ln(b)-\ln(a)=2 \ln(b)-2 \ln (c)$ da cui, infine: $2\ln(c)=\ln(ab) \Rightarrow c^2=ab$

PS Davide, le tue citazioni di Halliday hanno sempre un che di biblico ;p La prossima volta scrivi "versetto" invece di "problema", ti prego XD

Davide90 · Messaggio da **Davide90** » 21 set 2009, 9:11

Grazie per la risposta!

L'adepto degli adoratori dell'Halliday ha scritto:PS Davide, le tue citazioni di Halliday hanno sempre un che di biblico ;p La prossima volta scrivi "versetto" invece di "problema", ti prego XD

Lol

Hai ragione, il nostro sacro manuale merita più rispetto... Dovremmo stabilire anche le abbreviazioni tipo quelle della bibbia, $\text{Cond, Entr, Res, Mom, \dots}$

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