Forum OLIFIS

La terza legge di Keplero afferma che è un rapporto costante per tutti i pianeti che percorrono un'orbita ellittica con semiasse maggiore in un periodo . Si può allora definire questo rapporto anche con questa espressione: , essendo la massa del Sole. Considera ora il caso di una piccola carica in un campo elettrostatico generato da .
a) Quali delle 3 leggi di Keplero sono valide anche nel caso dell'interazione elettrostatica?
b) Si esprima la costante in funzione della massa di , delle cariche e e della costante dielettrica del vuoto .
Siano date due cariche poste ad una distanza e da e siano e le loro velocità.
c) Sie sprima in funzione di e .
d) Quanto vale il periodo ?

Non me li ricordavo così i punti c e d io ho fatto un altro problema, con una sola carica q in moto attorno a Q, dove r1 e r2 erano le distanze da Q dell' "afelio" e del "perielio" dell'ellisse. Ho fatto un epico errore di lettura?

No Ippo l'ho fatto anch'io come te... La carica era una... Più veloce in perielio e più lenta in afelio, come l'analogo gravitazionale del momento angolare conservato, o per la seconda legge di Keplero, che è lo stesso...
Oppure l'epico errore di lettura l'abbiamo fatto in 2!!!

Ok il punto (d) precisava che T andava espresso in funzione solo di r1 e v1.
Si applica la seconda legge di keplero, che afferma che la derivata temporale dell'area spazzata dal raggio vettore Q-q è una costante. Allora se la calcoliamo in r1 otteniamo il valore costante: dove dx è lo spostamento nel tempo dt e l'area dA è approssimativamente quella di un triangolo di base dx e altezza r1.
L'area dell'ellisse vale notoriamente dove a e b sono i semiassi. Sappiamo che e, con una piccola costruzione, ricaviamo ; ma allora
ovvero

Ficosa come soluzione.
Io invece sono andato a calcolarmi quella famosa costante attraverso la conservazione dell'energia se non ricordo male...

Ma nel punto a) sono valide tutte e tre le leggi di keplero giusto? Mi sembrerebbe troppo ovvio però

Si, sono tutte e tre valide. Data la totale analogia nella forma matematica tra la forza gravitazionale ed elettrica attrattiva ( ), qualsiasi legge o teorema valido per la cinematica di un caso vale anche per l'altro caso.