Pista ciclistica

SARLANGA · Messaggio da **SARLANGA** » 14 set 2009, 12:22

Su una pista ciclistica circolare di centro O sta girando un ciclista a velocità scalare costante. Mentre il ciclista transita per il punto A, dallo stesso punto parte, da fermo, un altro ciclista, che viaggia in senso opposto, ad accelerazione scalare costante. Dopo un giro si incontrano nuovamente in A, dopo essersi incontrati in un punto B. Quanto misura in radianti l'angolo $\displaystyle A\widehat OB$ ?

MrTeo · Messaggio da **MrTeo** » 14 set 2009, 14:40

Ci provo...
(Parto dalla seconda informazione, il fatto che alla fine si riincontrano in A e poi sostituisco i valori nella condizione per B, $t_*$ è il tempo impiegato per fare un giro completo):

$\begin{array}{l} \frac{1}{2}at_* ^2 = vt_* \\ at_* = 2v \\ a\frac{s}{v} = 2v \\ a = \frac{{2v^2 }}{s} \\ \end{array}$

$\begin{array}{l} s = \frac{1}{2}at^2 + vt \\ at^2 + 2vt - 2s = 0 \\ t = \frac{{ - v + \sqrt {v^2 + 2as} }}{a} = \frac{{s\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{{2v}} \\ \end{array}$

Trovato il tempo impiegato per incontrarsi valuto il rapporto tra le distanze percorse (che è uguale a quello tra gli angoli):

$\frac{{s_1 }}{{s_2 }} = \frac{{AOB'}}{{AOB''}} = \frac{{vt}}{{s - vt}} = \frac{{s\frac{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{2}}}{{s\frac{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}{2}}} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{{3 - \sqrt 5 }} \cdot \frac{{3 - \sqrt 5 }}{{3 - \sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 - 2}}{2}$

E imponendo la condizione ottenuta trovo (ho individuato l'angolo convesso, dato che mi sembrava chiedessero quello):

$\begin{array}{l} \frac{{2\alpha }}{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}} + \alpha = 2\pi \\ \alpha = \frac{{2\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}}{{\sqrt 5 }}\pi = \left( {2 - \frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\pi \\ \end{array}$

Spero di non aver fatto pasticci... cmq il procedimento sembra sensato, poi fate un po' voi

Davide90 · Messaggio da **Davide90** » 14 set 2009, 15:06

MrTeo ha scritto: $\begin{array}{l} at_* = 2v \\ a\frac{s}{v} = 2v \end{array}$

Se ho capito bene, qui hai messo un $s$ che è la lunghezza dell'intera circonferenza, mentre dopo lo hai confuso con lo spazio percorso finchè non si incontrano.

Io ho fatto così. Indichiamo con $\alpha$ l'accelerazione angolare del secondo ciclista, con $\omega$ la velocità angolare costante del primo, con $R$ il raggio della circonferenza. Allora possiamo scrivere
$\frac12 \alpha T^2=\omega T \rightarrow \alpha =\dfrac{2\omega}{T}=\dfrac{\omega^2}{\pi}$
Ora imponiamo che quando i due si incontrano in B abbiano percorso angoli esplementari (indichiamo con $\theta$ l'angolo percorso dal primo ciclista):
$\begin{array}{l} \dfrac12\alpha t^2+\omega t=2\pi \\ \dfrac12 \dfrac{\omega^2}{\pi}\dfrac{\theta^2}{\omega^2}+\omega\cdot \dfrac{\theta}{\omega}=2\pi \\ \theta^2+2 \pi \theta -4 \pi^2=0 \\ \theta=(\sqrt5 -1)\pi \end{array}$
Poichè $\sqrt5 -1>1$ , questo è l'angolo concavo (infatti il primo ciclista in quell'intervallo di tempo deve avere percorso più strada). L'angolo convesso risulta invece uguale a $(3-\sqrt5 )\pi$ .

Fedecart · Messaggio da **Fedecart** » 14 set 2009, 15:08

Anche a me da come a Davide90...

SARLANGA · Messaggio da **SARLANGA** » 14 set 2009, 15:28

A me viene un po' diverso...Chiamo $\displaystyle v_1$ la velocità costante del primo ciclista e $\displaystyle a_2$ l'accelerazione costante del secondo ciclista, $\displaystyle T$ il tempo impiegato a fare un giro e $\displaystyle t_x$ il tempo dopo il quale si incontrano.
$\displaystyle v_1*t_x=2 \pi r-a_2*t_x^2/2$ ; come hai trovato te, $\displaystyle a_2=2*v_1/T$ , quindi:
$\displaystyle v_1*t_x=2 \pi r-v_1*t_x^2/T$ ; ora sostituisco $\displaystyle v_1$ con $\displaystyle 2 \pi r/T$ e trovo
$\displaystyle t_x^2/T^2+t_x/T-1=0$ e risolvendola in $\displaystyle t_x/T$ trovo l'unica soluzione accettabile $\displaystyle t_x/T=( \sqrt 5 -1)/2$ da cui, poichè $\displaystyle t_x/T= \alpha /2 \pi$ , ricavo:
$\displaystyle \alpha =( \sqrt 5 -1) \pi$
Perchè viene diverso? Ho letto la tua soluzione e mi pare giusta...Anche il mio risultato è un angolo convesso

Dove sbaglio? Ciao

SARLANGA · Messaggio da **SARLANGA** » 14 set 2009, 15:31

Davide90 ha scritto:Poichè $\sqrt5 -1>1$ , questo è l'angolo concavo (infatti il primo ciclista in quell'intervallo di tempo deve avere percorso più strada). L'angolo convesso risulta invece uguale a $(3-\sqrt5 )\pi$ .

SARLANGA ha scritto:Anche il mio risultato è un angolo convesso

Mi correggo, ho trovato un angolo concavo, corrispondente all'arco percorso dal primo ciclista dopo il tempo $\displaystyle t_x$

Iuppiter · Messaggio da **Iuppiter** » 16 set 2009, 18:52

Ho provato anch'io a risolverlo qui, non letteralmente, ma ipotizzando dei valori per le varie misure. Però mi viene un risultato diverso. Potete dirmi dov'è l'errore?

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