Pallina e scodella

[Ippo]

C'è una scodella a forma di paraboloide (cioè quello che otteniamo facendo ruotare una parabola attorno al suo asse) il cui profilo è una parabola di equazione dove r è la distanza orizzontale dal vertice, y è la distanza da terra e è una certa costante. Lanciamo una pallina (puntiforme) di massa (che può scorrere senza attrito sulla superficie del paraboloide) con una velocità iniziale esclusivamente tangenziale v, in modo che questa segua stabilmente un moto circolare uniforme attorno all'asse del paraboloide.

a) descrivere l'orbita (raggio, periodo, energia) in funzione dei dati.

A questo punto si imprime alla pallina una velocità tangenziale addizionale (con una forza impulsiva che assumiamo istantanea) per farla uscire dalla scodella, che ha raggio massimo e altezza massima ovviamente .

b) Quanto deve valere al minimo ?

può essere istruttivo, dopo averlo fatto normalmente, risolverlo nel sistema non inerziale usando la forza di Coriolis, che tra l'altro semplifica parecchio i calcoli.

[Davide90]

a) La pallina è soggetta alla forza peso diretta verso il basso e alla reazione vincolare del paraboloide, formante un angolo con l'orizzontale.
Scriviamo la seconda legge di Newton per la pallina:

Scomponendo i vettori lungo gli assi orizzontale e verticale otteniamo il sistema

dove è la distanza dall'asse del paraboloide.
La tangente dell'angolo è il coefficiente angolare della retta perpendicolare alla tangente al paraboloide in , quindi possiamo scrivere

Sostituendo nel sistema otteniamo infine

Il periodo vale quindi

L'energia meccanica totale del sistema è la somma dell'energia cinetica della pallina e della sua energia potenziale gravitazionale, che assumiamo rispetto al fondo del paraboloide dove . Quindi


b) La pallina, per uscire dal paraboloide, deve raggiungere almeno l'energia necessaria a percorre l'orbita limite sulla cima del paraboloide. Dunque possiamo calcolare l'energia necessaria dalla differenza di energia totale tra le posizioni iniziale e finale, utilizzando le espressioni che abbiamo trovato in funzione della velocità e del raggio:


Approccio con la forza di Coriolis per il punto b
Poniamoci nel sistema di riferimento non inerziale della pallina. Essa vede "scorrere" il paraboloide in senso inverso rispetto al senso di rotazione della pallina nel sistema di riferimento inerziale. Assumiamo che la pallina veda scorrere il paraboloide in senso orario (visto dall'alto).
Ora, se la pallina si spostasse verso la cima del paraboloide senza aumentare la propria velocità tangenziale, per effetto della forza apparente di Coriolis essa si sposterebbe verso sinistra, in senso opposto alla rotazione del paraboloide, in quanto la sua velocità angolare diminuirebbe per l'aumentare della distanza di rotazione. Indicando con la velocità angolare che otterrebbe senza aumento di velocità, abbiamo per la conservazione dell'energia cinetica di rotazione

Affinchè però la pallina possa percorrere l'orbita con velocità in modo tale da rimanere sulla sua orbita e non cadere dentro il paraboloide, bisogna imprimerle un aumento di velocità


Ci sono strafalcioni disumani? È già stupendo che il risultato venga uguale...
P.S.: Ippo, tu fai comunque un giro a Padova nei prossimi giorni?

[CoNVeRGe.]

Non capisco cosa fai nel punto b (col primo metodo).
Io comunque usando anche il momento angolare ottengo la stessa equazione.

[Davide90]

Mi sono spiegato maluccio, comunque in parole povere ho trovato la velocità tangenziale necessaria per ruotare a distanza R dall'asse sostituendo nell'espressione di in funzione di il raggio .
L'ho fatto con l'espressione dell'energia totale, e fa un po' schifo probabilmente...

[CoNVeRGe.]

Inizio ad avere un po' di confusione..

Dopo aver visto un errore di calcolo mi son accorto che i risultati coincidevano. Ma ora la situazione mi sembra strana. Sembrerebbe infatti che l'energia per percorrere un'orbita circolare ad altezza H (quella limite che hai usato tu) sia pari all'energia per percorrere l'orbita che tange sia l'orbita circolare iniziale sia quella circolare ad altezza H, che intuitivamente dovrebbe essere minore.

Nel frattempo scrivo la mia soluzione. Conservazione dell'energia + conservazione del momento angolare verticale tra l'istante in cui la massa ha velocità giacente interamente su un piano orizzontale e l'istante in cui, salendo, raggiungerà l'apice della sua traiettoria con una velocità evidentemente anch'essa interamente su un piano orizzontale. Ho imposto che la massima altezza raggiunta sia appunto H.





Il risultato è quello di Davide; quindi le energie che ho detto sopra sono probabilmente uguali. Ad ogni modo secondo me questa è solo una coincidenza e il metodo che ha usato Davide non garantiva la correttezza del risultato.
Attendiamo qualcun altro per sapere cosa ne pensa .

[Ippo]

ok, sul punto (a) è tutto chiaro mi pare. Quanto al B la pallina non deve evidentemente raggiungere la velocità necessaria a restare stabilmente ad altezza h, basta che ci arrivi per un istante. Si impone la conservazione del momento angolare e dell'energia e, sostituendo v alla fine, si ricava l'espressione di Davide90, .

Con Coriolis ho qualche perplessità sull'interazione della particella con la parete, nel senso che l'assunzione che segue non mi sembra facilmente giustificabile ma il fatto che il risultato sia corretto mi dà fiducia : guardiamo tutto "dall'alto", nel sistema rotante; ovvero immaginiamo di considerare solo "l'ombra" della particella. (il fatto che non occorra considerare il moto verticale è il nocciolo della perplessità). La forma vettoriale della forza di Coriolis è , v essendo la velocità rispetto al sistema rotante, da cui si capisce che se la forza centrifuga non rompe le balle (come avviene in questa configurazione in cui l'inclinazione del paraboloide fornisce proprio la forza giusta ad annullarla ad ogni distanza) assistiamo ad un moto circolare uniforme, in cui la forza centripeta è proprio quella di Coriolis: essendo s il raggio del cerchio; si ricava ; affinchè la pallina esca deve essere
cioè