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L'entropia è una funzione di stato. Considerando un tipico cilindro dotato di pistone che contiene N moli di un gas perfetto il cui indice adiabatico è , possiamo scrivere l'entropia del gas in un modo che dipende solamente, diciamo, dal volume V e dalla temperatura T.

Si dimostri che si ha, a meno di una costante additiva,


Hint: usando fatti noti riguardo alle trasformazioni isoterme e adiabatiche si possono ottenere le relazioni tra e e tra e .

Viene dal Feynman, non è un esercizio molto "olimpico", ma mi è sembrato carino

Allora, vediamo se riesco;

parto dalla forma differenziale del primo principio della termodinamica:

.

e tenendo conto delle espressioni della energia interna e e del lavoro:

. Dividendo entrambi i membri per T:

e poiché si ha:

e



otteniamo il differenziale dell'entropia in funzione dei parametri richiesti. Integrandolo otteniamo l'espressione del testo, che è l'entropia a meno di costanti.

Direi proprio che vada bene. (anche se varrà di più la conferma di Ippo)
Nell'ultima formula però volevi scrivere

infatti
,
e sostituendo quest'ultima espressione otteniamo la formula richesta dal problema.

esatto, Davide mi ha preceduto. Comunque ok, ormai Pairo è una garanzia
altro approccio - del tutto equivalente ovviamente:

il lavoro in un'espansione isoterma da a è notoriamente , e la variazione di entropia, dato che siamo a temperatura costante, è (il calore è uguale al lavoro sempre perché siamo a temperatura costante). Allora .
In un'espansione adiabatica invece si ha da cui e la variazione di entropia è nulla (non c'è scambio di calore), perciò si può scrivere, posto :







Naturalmente non ha nulla di speciale e possiamo sostituirlo con un V generico. Otteniamo infine





da cui otteniamo che la costante additiva ignota dell'integrale di Pairo rappresenta l'entropia a volume e temperatura unitari per quel particolare gas. Feynman dice che questa cosa si chiama "costante chimica" e ha un particolare valore per ogni sostanza, determinabile empiricamente o con calcoli quantistici. Ganzo

Ancora più semplice e compatta è la formula:



Si vede che per un’adiabatica reversibile S=Costante.
Questa formula è contenuta anche nel problema n.6 dell’SNS 2001/2002
per chimici.

Sì, scusate refuso; grazie a Davide e a Ippo . Comunque bella soluzione

Ippo ha scritto:Feynman dice che questa cosa si chiama "costante chimica" e ha un particolare valore per ogni sostanza, determinabile empiricamente o con calcoli quantistici. Ganzo

Mi pare se ne parlasse anche nella termodinamica del Fermi, a partire dal teorema di Nernst (che del resto indica con 0 il valore di S di un cristallo puro a 0 K, quindi è già un riferimento)...

Ippo ha scritto:


Naturalmente non ha nulla di speciale e possiamo sostituirlo con un V generico. Otteniamo infine

eehm mi sono perso in questo passaggio oltre al V_b quale altre sostituzione sono state fatte per ottenere S(1,t) ed ln(V/1)?

Hope ha scritto:eehm mi sono perso in questo passaggio oltre al V_b quale altre sostituzione sono state fatte per ottenere S(1,t) ed ln(V/1)?

per quanto dimostrato sulle espansioni isoterme;
per quanto dimostrato con l'argomento sulle trasformazioni adiabatiche. In ogni equazione porti il termine negativo nell'altro membro ed ottieni esattamente quello sviluppo.

grazie del chiarimento Ippo.
Ora propongo un esercizio un po piu semplice visto che siamo in tema di entropie e di dimostrazioni.
Due oggetti uguali con diversa temperatura T_1 e T_2 sono messi in una scatola dalle pareti adiabatiche e raggiungono l equilibrio termico.
dimostrare che l aumento di entropia in questo processo è
deltaS=\frac{2Q}{T_1-T_2}ln*\frac{(T_1+T_2)^2}{4T_1+T_2}
dove Q rappresenta il calore totale che passa dall oggetto caldo a quello freddo .
Supporre nella risoluzione che le loro capacità termiche siano indipendenti dalla temperatura.
Proviene dall'hallyday di meccanica dell università