Entropia

[Ippo]

L'entropia è una funzione di stato. Considerando un tipico cilindro dotato di pistone che contiene N moli di un gas perfetto il cui indice adiabatico è , possiamo scrivere l'entropia del gas in un modo che dipende solamente, diciamo, dal volume V e dalla temperatura T.

Si dimostri che si ha, a meno di una costante additiva,


Hint: usando fatti noti riguardo alle trasformazioni isoterme e adiabatiche si possono ottenere le relazioni tra e e tra e .

Viene dal Feynman, non è un esercizio molto "olimpico", ma mi è sembrato carino

[Pairo]

Allora, vediamo se riesco;

parto dalla forma differenziale del primo principio della termodinamica:

.

e tenendo conto delle espressioni della energia interna e e del lavoro:

. Dividendo entrambi i membri per T:

e poiché si ha:

e



otteniamo il differenziale dell'entropia in funzione dei parametri richiesti. Integrandolo otteniamo l'espressione del testo, che è l'entropia a meno di costanti.

[Davide90]

Direi proprio che vada bene. (anche se varrà di più la conferma di Ippo)
Nell'ultima formula però volevi scrivere

infatti
,
e sostituendo quest'ultima espressione otteniamo la formula richesta dal problema.

[Ippo]

esatto, Davide mi ha preceduto. Comunque ok, ormai Pairo è una garanzia
altro approccio - del tutto equivalente ovviamente:

il lavoro in un'espansione isoterma da a è notoriamente , e la variazione di entropia, dato che siamo a temperatura costante, è (il calore è uguale al lavoro sempre perché siamo a temperatura costante). Allora .
In un'espansione adiabatica invece si ha da cui e la variazione di entropia è nulla (non c'è scambio di calore), perciò si può scrivere, posto :







Naturalmente non ha nulla di speciale e possiamo sostituirlo con un V generico. Otteniamo infine





da cui otteniamo che la costante additiva ignota dell'integrale di Pairo rappresenta l'entropia a volume e temperatura unitari per quel particolare gas. Feynman dice che questa cosa si chiama "costante chimica" e ha un particolare valore per ogni sostanza, determinabile empiricamente o con calcoli quantistici. Ganzo

[pascal]

Ancora più semplice e compatta è la formula:



Si vede che per un’adiabatica reversibile S=Costante.
Questa formula è contenuta anche nel problema n.6 dell’SNS 2001/2002
per chimici.

[Pairo]

Sì, scusate refuso; grazie a Davide e a Ippo . Comunque bella soluzione

[MrTeo]

Feynman dice che questa cosa si chiama "costante chimica" e ha un particolare valore per ogni sostanza, determinabile empiricamente o con calcoli quantistici. Ganzo

Mi pare se ne parlasse anche nella termodinamica del Fermi, a partire dal teorema di Nernst (che del resto indica con 0 il valore di S di un cristallo puro a 0 K, quindi è già un riferimento)...

[Hope]

Naturalmente non ha nulla di speciale e possiamo sostituirlo con un V generico. Otteniamo infine

eehm mi sono perso in questo passaggio oltre al V_b quale altre sostituzione sono state fatte per ottenere S(1,t) ed ln(V/1)?

[Ippo]

eehm mi sono perso in questo passaggio oltre al V_b quale altre sostituzione sono state fatte per ottenere S(1,t) ed ln(V/1)?

per quanto dimostrato sulle espansioni isoterme;
per quanto dimostrato con l'argomento sulle trasformazioni adiabatiche. In ogni equazione porti il termine negativo nell'altro membro ed ottieni esattamente quello sviluppo.

[Hope]

grazie del chiarimento Ippo.
Ora propongo un esercizio un po piu semplice visto che siamo in tema di entropie e di dimostrazioni.
Due oggetti uguali con diversa temperatura T_1 e T_2 sono messi in una scatola dalle pareti adiabatiche e raggiungono l equilibrio termico.
dimostrare che l aumento di entropia in questo processo è
deltaS=\frac{2Q}{T_1-T_2}ln*\frac{(T_1+T_2)^2}{4T_1+T_2}
dove Q rappresenta il calore totale che passa dall oggetto caldo a quello freddo .
Supporre nella risoluzione che le loro capacità termiche siano indipendenti dalla temperatura.
Proviene dall'hallyday di meccanica dell università