Forum OLIFIS

Si consideri il sistema di masse e carrucole in figura. Tutte le masse sono uguali. Le carrucole non hanno massa e neanche i fili. Si tengono ferme tutte le masse, e poi, improvvisamente, si lascia che possano cadere liberamente. Calcolare l'accelerazione della massa più in alto.
Se vi aiuta ad immaginare meglio come funzionano le cose, immaginate il sistema di N masse e carrucole, e fate tendere N all'infinito.


Il livello secondo me è adatto per un Senigallia non particolarmente facile. Il problema è molto bello, e non esistono solo soluzioni brutte e contose.

Molto bello!

non capisco.. l'ultima carrucola avrà (rispettando il disegno) a sinistra una massa e a destra cosa ?

Un' altra carrucola... Poi un'altra carrucola, ecc.
Nota il titolo

eli9o ha scritto:Un' altra carrucola... Poi un'altra carrucola, ecc.
Nota il titolo

si ma ci sarà prima o poi un'ultima carrucola

Sì, ci sarà. Supponi che il numero N di carrucole sia molto maggiore di 1 e dimostra che l'accelerazione della prima massa converge per N che tende a infinito.

In alternativa, hai il permesso di fidarti del fatto che converge, e di calcolarla in qualche modo dandolo per scontato.

Proviamo dai...
Prima di tutto assumiamo m=1 Kg. Nel caso più semplice di una macchina di Atwood (una carrucola e 2 masse) abbiamo a sistema le 2 condizioni e . Risolvendo il sistema otteniamo le 2 relazioni e .
Possiamo associare ad ogni insieme di carrucole (tutte quelle da un certo punto in giù) una massa equivalente, cioè calcolare la forza peso che questo esercita sulla carrucola immediatamente superiore. Numeriamo le carrucole dal basso (consideriamole per ora finite). Sia la massa equivalente alla i-esima carrucola (con tutte quelle sotto). Dalle formule ottenute in partenza abbiamo che . Avremo che la forza peso esercitata sulla i+1 esima carrucola è . Sostituendo la relazione dell'accelerazione appena determinata otteniamo , inoltre sappiamo che .
Osserviamo che, se allora . Quindi abbiamo che (senza essere troppo fiscali sull'uguale).
Per verificare che per i che tende ad infinito m tende a 3 consideriamo la quantità e osserviamo che . Infatti risulta verificata per che è proprio l'intervallo che ci interessa.
Ora sostituiamo nella formula iniziale per l'accelerazione e . Otteniamo .

Concordo, bel problema
Inoltre questo forum spione ci dice che bisogna farti gli auguri!

Edit: un amico mi ha fatto notare che c'è un'altra interpretazione (quella giusta?) cioè che a destra nell'ultima carrucola non ci sia niente, mentre io ho supposto ci sia una massa... In quel caso, arrivati alla ricorsione si pone quindi avremo per ogni i e la massa cade con accelerazione g; oppure più semplicemente ricordando che il peso della carrucola con le masse è pari al doppio della tensione del filo che "ci gira" attorno avremo che tutte le tensioni sono 0 e tutte le masse cadono con accelerazione g...
Com'è fatta questa "ultima" carrucola?

eli9o ha scritto:Edit: un amico mi ha fatto notare che c'è un'altra interpretazione (quella giusta?) cioè che a destra nell'ultima carrucola non ci sia niente, mentre io ho supposto ci sia una massa... In quel caso, arrivati alla ricorsione si pone quindi avremo per ogni i e la massa cade con accelerazione g; oppure più semplicemente ricordando che il peso della carrucola con le masse è pari al doppio della tensione del filo che "ci gira" attorno avremo che tutte le tensioni sono 0 e tutte le masse cadono con accelerazione g...
Com'è fatta questa "ultima" carrucola?

è proprio il motivo per cui me lo chiedevo..

A mio parere il problema è un po' vago perché privo di condizioni al contorno. Deve quindi essere discusso assumendo ipotesi arbitrarie, che per comodità e con linguaggio improprio attribuirò alla cosiddetta "ultima massa" situata sul filo di destra dell'"ultima puleggia" (situata all'infinito).
In questa catena di pulegge, infatti, essendo nullo l'attrito e non possedendo esse massa (e nemmeno i fili), va da sé che il filo a monte di ogni puleggia possiede una tensione doppia rispetto a ciascuno dei due fili a valle, che hanno tensione uguale.
Pertanto se l"ultima massa avesse valore finito, anche la tensione degli ultimi fili sarebbe finita, e quindi raddoppiando a ogni puleggia si giungerebbe con una tensione infinita sui fili della prima puleggia, risultato che non mi pare proprio "bello".
Se viceversa l'ultima massa avesse valore zero (filo libero), allora il raddoppio delle tensioni condurrebbe a tensioni zero anche sulla prima puleggia, e allora la prima massa si muoverebbe come se fosse libera, ovvero con accelerazione g.
Se infine l'ultima massa avesse valore "infinitesimo", allora col sistema del raddoppio si giungerebbe a un valore di tensione qualsiasi (indeterminato) sui fili della prima puleggia, e la prima massa si muoverbbe con accelerazione qualsiasi (indeterminata).

Ma perché volete per forza imporre il fatto che ci sia un'ultima carrucola? A cosa serve? Secondo me può essere fuorviante, proprio perchè un'ultima carrucola non c'è. Il problema mi sembra ben determinato, anche se ovviamente la situazione non è realizzabile. C'è una serie di carrucole, che hanno delle relazioni cinematiche e dinamiche tra loro, ben definite. Al tempo t=0 sono ferme. Non serve altro.

Ciao