Proviamo dai...
Prima di tutto assumiamo m=1 Kg. Nel caso più semplice di una macchina di Atwood (una carrucola e 2 masse) abbiamo a sistema le 2 condizioni
e
. Risolvendo il sistema otteniamo le 2 relazioni
e
.
Possiamo associare ad ogni insieme di carrucole (tutte quelle da un certo punto in giù) una massa equivalente, cioè calcolare la forza peso che questo esercita sulla carrucola immediatamente superiore. Numeriamo le carrucole dal basso (consideriamole per ora finite). Sia
la massa equivalente alla i-esima carrucola (con tutte quelle sotto). Dalle formule ottenute in partenza abbiamo che
. Avremo che la forza peso esercitata sulla i+1 esima carrucola è
m_i+(g+a_i)m)
. Sostituendo la relazione dell'accelerazione appena determinata otteniamo
, inoltre sappiamo che
.
Osserviamo che, se
allora
. Quindi abbiamo che
(senza essere troppo fiscali sull'uguale).
Per verificare che per i che tende ad infinito m tende a 3 consideriamo la quantità
e osserviamo che
. Infatti
risulta verificata per
che è proprio l'intervallo che ci interessa.
Ora sostituiamo nella formula iniziale per l'accelerazione
e
. Otteniamo
.
Concordo, bel problema
Inoltre questo forum spione ci dice che bisogna farti gli auguri!
Edit: un amico mi ha fatto notare che c'è un'altra interpretazione (quella giusta?) cioè che a destra nell'ultima carrucola non ci sia niente, mentre io ho supposto ci sia una massa... In quel caso, arrivati alla ricorsione si pone
quindi avremo
per ogni i e la massa cade con accelerazione g; oppure più semplicemente ricordando che il peso della carrucola con le masse è pari al doppio della tensione del filo che "ci gira" attorno avremo che tutte le tensioni sono 0 e tutte le masse cadono con accelerazione g...
Com'è fatta questa "ultima" carrucola?
