SNS 2000/2001 Problema 4

[CoNVeRGe.]

Un fabbricante di diapason vuole controllare la qualità dei suoi prodotti.
Nominalmente un certo tipo dovrebbe produrre un suono di frequenza . La precisione con cui gli strumenti escono dalla linea di fabbricazione è comunque migliore della risoluzione dell'orecchio umano, che è .
Si progetti un metodo di misura in cui, sempre usando l'orecchio, si possono discriminare tra loro due diapason, uno con e l'altro con , individuando anche quale dei due è caratterizzato dalla frequenza più alta.


Questo problema mi sa tanto di una probabile 'Oral Question', vista la particolare richiesta del testo.

[Paolo90]

sicuramente non e' accettabile come risposta, pero' per accorgersi che hanno due frequenze diverse si dovrebbero sentire i battimenti con frequenza 1Hz, mentre per discriminare quello piu' basso si potrebbe tendere molto lentamente una corda di violino e osservare con quale diapason entra in risonanza per prima, anche se in effetti non si sta usando l'orecchio.
Si potrebbe anche utilizzare l'effetto doppler (mettendo in moto un solo diapason) e osservare a che velocita' il battimento sparisce, anche se non e' molto pratico...
Penso che problemi del genere siano terribili perche' e' molto difficile capire cos'aveva in testa chi ha proposto il problema...

[Ratio]

Sfruttando l'effetto Doppler si potrebbe costruire uno strumento utile al caso: una molla fissata ad un muro che oscilla su un piano con il diapason da testare all'estremo libero. Si tira la molla, si mette in risonanza il diapason e si lascia la molla. Quando la molla passa per il punto di equilibrio, cioè quando tutta l'energia potenziale elastica si è trasformata in cinetica, allora si confrontano ad orecchio le due frequenze, quella di un diapason standard a 2000 Hz e quella del diapason in oscillazione. In questo modo per l'effetto Doppler abbassiamo la frequenza del diapason da testare (ovviamente questo avviene solo quando attraversa il punto di oscillazione allontanandosi da noi) e quindi alziamo la loro differenza udibile.
Ho calcolato che per far sì che , che è il limite dell'orecchio umano, basterebbe che la molla avesse una velocità di , che mi sembra fattibile con un oscillatore meccanico (oppure no?! ).
Questo metodo ci farebbe capire qual'è la differenza di frequenza che un diapason tarato bene dovrebbe avere se posto in oscillazione, bastarebbe confrontare poi questo valore con i diapason ancora da tarare: se la differenza è più piccola, allora il diapason ha una frequenza maggiore di 2000 Hz e viceversa se più grande.

[MrTeo]

Anche io avevo pensato al Doppler... ma per aumentare il "gap" presente tra le due frequenze emesse e renderlo udibile, ad esempio, mettendo in moto le sorgenti in avvicinamento rispetto all'operatore aumentano le frequenze.

Chiaramente entrambi i diapason devono procedere alla stessa velocità, altrimenti si falsa la misurazione... così aumenta anche la differenza tra le frequenze (dello stesso fattore) e quindi si può raggiungere facilmente la soglia di percezione (anche se in questo caso dovremmo parlare di "distinzione") accelerandole in modo opportuno...

[Ratio]

Se metti in moto entrambi i diapason è chiaro che la differenza percepibile rimane identica, non aumenta, perchè entrambe le frequenze aumentano o diminuiscono di un fattore comune (per convincertene sostituisci nel calcolo per le differenza di frequenza le frequenze ottenute con l'effetto Doppler e otterrai che , in cui le frequenze con apici sono le frequenze influenzate dal Doppler). L'unica soluzione è misurare la differenza tra la frequenza di un diapason alla volta (abbassata alla velocità giusta grazie all'effetto Doppler per rendercela udibile) e quella di un diapason già calibrato sui 2000 Hz. Questa differenza è udibile e se amplificata al punto giusto può dirci effettivamente quale diapason sia più o meno alto.

[MrTeo]

Se metti in moto entrambi i diapason è chiaro che la differenza percepibile rimane identica, non aumenta, perchè entrambe le frequenze aumentano o diminuiscono di un fattore comune (per convincertene sostituisci nel calcolo per le differenza di frequenza le frequenze ottenute con l'effetto Doppler e otterrai che , in cui le frequenze con apici sono le frequenze influenzate dal Doppler). L'unica soluzione è misurare la differenza tra la frequenza di un diapason alla volta (abbassata alla velocità giusta grazie all'effetto Doppler per rendercela udibile) e quella di un diapason già calibrato sui 2000 Hz. Questa differenza è udibile e se amplificata al punto giusto può dirci effettivamente quale diapason sia più o meno alto.

Hmm... se consideriamo un fattore costante per entrambi i diapason otteniamo:




Quindi:



Se l'errore c'è io non riesco a trovarlo... quindi ogni aiuto è molto ( ) gradito... però mi sembra che se vado a sostituire nelle tue formule le frequenze modificate dal Doppler so soltanto che in rapporto alle frequenze (una sorta di variazione relativa) il valore è lo stesso, me non che il valore della differenza rimane costante...

[Paolo90]

ma per la percezione dell'orecchio conta solo , quindi l'effetto doppler applicato come dici tu non credo aiuti.

[MrTeo]

ma per la percezione dell'orecchio conta solo , quindi l'effetto doppler applicato come dici tu non credo aiuti.

Molto giusto... bisognerà pensare a qualcos'altro

[MrTeo]

Ritento...

Sempre usando il Doppler si potrebbero accelerare i diapason in moto (sempre alla stessa ) verso l'ascoltatore finchè la velocità non raggiunge quella limite per l'udibilità, tale che (non sto a riscrivere il valore di , altrimenti rischio di diventare davvero noioso ):



Il primo diapason ad uscire dal valore soglia è quello da , mentre quello ancora udibile alla (per così dire) è l'altro...
Ovviamente si può fare lo stesso per la soglia inferiore di udibilità (), allontanando la sorgente dall'ascoltatore nello stesso modo... in questo caso il primo ad uscire dalla fascia udibile è il diapason da ...

[Ratio]

ma per la percezione dell'orecchio conta solo , quindi l'effetto doppler applicato come dici tu non credo aiuti.

Esattamente quello che intedevo

In ogni caso direi di lasciar perdere l'effetto Doppler che evidentemente è impraticabile... anche seguendo l'idea dell'ultimo post dovremmo far giungere il diapason alla velocità di , in cui
è la frequenza del diapason (2000 o 2001 Hz che sia),
è la frequenza da raggiungere (20000 o 20 Hz che sia),
e è la velocità del suono nel mezzo in cui avviene il tutto.
Se il mezzo fosse l'aria a 0°C avremmo per raggiungere i 20000 Hz.
L'unico modo per rendere il tutto più "ragionevole" sarebbe quello di abbassare la velocità del suono nel mezzo che è data da , in cui , essendo il modulo di compressibilità, dipende dalla pressione e quindi per l'equazione dei gas ideali dalla temperatura del gas. Per farla breve, dovremmo abbassare la temperatura dell'aria in cui si effettua la misurazione... che è anch'esso problematico