Ipho 2009 Problema 1

[Alex90]

1. Conservazione del momento angolare.

Sia il momento angolare del sistema Terra-Luna adesso, cioè in questo momento di tempo. Si facciano, ora, le seguenti assunzioni:
i) si ottiene dalla somma del momento angolare del moto rotatorio della terra su se stessa e quello del moto rotatorio della Luna attorno alla Terra;
ii) l’orbita della Luna è circolare e la Luna stessa può essere considerata puntiforme;
iii) l’asse di rotazione della Terra e quello di rivoluzione della Luna attorno alla Terra sono paralleli e perpendicolari al piano dell’orbita lunare;
iv) per semplificare i calcoli, il moto circolare della Luna avviene attorno al centro della Terra e non attorno al centro di massa. In tutto il problema, tutti i momenti d’inerzia, i momenti delle forze e i momenti angolari sono definiti rispetto all’asse della Terra;
v) l’influenza del sole viene trascurata.

1a Ricava la formula che esprime adesso, cioè in questo momento di tempo, il momento angolare totale del sistema Terra-Luna. Esprimi il risultato in funzione: a) del momento d’inerzia, , della Terra; b) della velocità angolare, , della Terra in questo momento di tempo; c) il momento d’inerzia della Luna, , in questo momento di tempo, rispetto
all’asse di rotazione terrestre; d) la velocità angolare della Luna, , in questo momento di tempo.

Il processo di trasferimento di momento angolare terminerà quando il periodo di rotazione della Terra e il periodo di rivoluzione della Luna attorno alla Terra saranno uguali. In quel momento i due massimi di marea saranno allineati con i centri della Terra e della Luna e il momento delle forze sarà nullo.

1b Ricava la formula che esprime il momento angolare totale finale del sistema Terra-Luna, , quando viene a cessare, cioè, il traferimento del momento angolare. Le assunzioni da fare per sviluppare il calcolo sono le stesse indicate prima della domanda 1a. Esprimi il risultato in funzione: a) del momento d’inerzia della Terra, ; b) della velocità angolare, , della Terra nella rotazione su se stessa e della Luna nella rotazione attorno alla Terra; c) il momento d’inerzia finale della Luna, .

1c Trascurando il contributo della rotazione della Terra al momento angolare finale totale, ricava la formula che esprime, in questa situazione, la conservazione del momento angolare.

Un pezzo per volta lo posto che un po' ci vuole...

[MrTeo]

Ecco un coraggioso che si immola per il bene del forum, grazie mille innanzitutto per la pazienza e la buona volontà di postare A quanto pare alle Ipho quest'anno hanno scelto la via dello sfiancamento dei concorrenti...

Non so se ci siano già le soluzioni online... ma provo il primo punto, tanto per rompere il ghiaccio, anche se non capisco se dobbiamo utilizzare successivamente le quantità richieste per indicare o vanno prese tutte insieme, nel secondo caso credo si possa scrivere:



L'espressione è certo giusta, anche se mi pare sia un po' una banalità, ma magari come già detto serve solo a scaldare i muscoli
Passando alla conservazione del momento angolare (pur non sembrandomi molto chiaro cosa vogliono avere nel punto 1c) direi:






Questo è quanto, sento su di me l'ombra angosciante di qualche sciocchezza che temo di aver scritto... fate voi

[Alex90]

Il momento di inerzia della Luna è quello che dici tu nel qual caso ruotasse attorno al proprio asse...cosa non vera in questo caso

[MrTeo]

In tutto il problema, tutti i momenti d’inerzia, i momenti delle forze e i momenti angolari sono definiti rispetto all’asse della Terra.

Hmm... forse mi sono fidato troppo di questa postilla...
Oppure persevero nell'errore, ti prego di illuminarmi, notoriamente quelli che sbagliano sono refrattari ad accorgersi di ciò che fanno

[spn]

in effetti il problema dice:

c) il momento d’inerzia della Luna, , in questo momento di tempo, rispetto all’asse di rotazione terrestre;

Percui mi sembra sensato quello che ha scritto MrTeo.

[Rigel]

Quello che ha detto MrTeo è sensato e corretto. Comunque non scandalizzatevi per la banalità delle domande: questa sezione valeva 0,7 punti

[Pigkappa]

Ok, ma le parti dopo non erano significativamente più difficili...

[Alex90]

in effetti il problema dice:

c) il momento d’inerzia della Luna, , in questo momento di tempo, rispetto all’asse di rotazione terrestre;

Percui mi sembra sensato quello che ha scritto MrTeo.

Ops...non avevo notato questo dettaglio

[Ippo]

Ok, ma le parti dopo non erano significativamente più difficili...

No, ma erano significativamente più contose.

[Alex90]

2. Distanza finale e velocità angolare finale del sistema Terra-Luna.

Si assuma che valgano sempre le equazioni della gravitazione universale e della meccanica newtoniana per un’orbita circolare, in particolare per l’orbita della Luna attorno alla Terra. Si trascuri il contributo della rotazione della Terra al momento angolare finale totale.

2a Ricava, nello stato finale, la formula del moto circolare della Luna attorno alla Terra dovuto alla forza di gravità. Esprimi il risultato in funzione di , , e della distanza finale Terra-Luna . è la massa della Terra e la costante gravitazionale.

2b Ricava l’espressione della distanza, , tra la Terra e la Luna alla fine del processo. Esprimi il risultato in funzione dei
parametri noti (momento angolare totale), e (rispettivamente le masse della Terra e della Luna) e della costante di gravitazione .

2c Ricava l’espressione della velocità angolare finale, , della Terra e della Luna al termine del processo. Esprimi il risultato in funzione dei parametri noti , , e .

Di seguito si domanda di calcolare i valori numerici di e . Per fare ciò serve calcolare il momento d’inerzia della Terra.

2d Ricava la formula del momento d’inerzia, , della Terra, supponendo che sia una sfera avente densità omogenea nei punti che vanno dalla distanza 0 fino ad una distanza dal centro e avente la densità omogenea per i punti con distanza dal centro compresa fra e , il raggio della superficie terrestre.