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abbiamo due masse sferiche una M e un altra m con distanza d(distanza tra i due baricentri dei corpi)
alla massa M di raggio R viene praticata una cavita sferica in modo che sia tangente al centro della sfera e tangente al bordo della sfera.
Esprimere la Forza gravitazionale tra le due masse
(problema uscita allle olimpiadi della russia livello nazionale).

Ma in che direzione è praticata la cavità sferica?

la cavita ha il centro lungo la retta passante per il centro originale della sfera parallela al piano terra

http://img162.imageshack.us/i/90389945.png/ da qui si vede meglio cosa voglio dire per cavita sferica

Si, ma non hai detto la posizione rispetto alla massa m...

la massa m sta ad una distanza d generica converge

E' possibile semplicemente sottrarre? Però mi sembra troppo immediato per la fase nazionale delle olimpiadi russe... Nel senso

Che vale per 2 corpi puntiformi (o anche due sfere, per Gauss).
Se calcolo così la forza che la sfera di massa M esercita su quella di massa m, e poi sottraggo la forza che la sfera "tagliata via" esercita su quella di massa m, ottengo la forza che cerco. Tanto sia la forza che esercita M su m si la forza che esercita la sfera "tagliata via" hanno lo stesso verso...
Ora il problema è trovare la massa della sfera tagliara via. Essendo essa dello stesso materiale della sfera M e avendo quindi la stessa densità della sfera M si ha che dove con e indico massa e volume della sfera "tagliata".
Dunque .
Il raggio della sfera tagliata è metà di quello della sfera M.


Dunque .
Allora mi calocolo la sistemo che è bruttissima

E a questo punto essendo due vettori di verso concorde sottraggo...

E il resto sono conti algebrici per farla più bellina e sotto un unica frazione...
Ditemi se il ragionamento non va per qualche motivo! =)

Fedecart ha scritto: E' possibile semplicemente sottrarre? [...] hanno lo stesso verso...

No perchè non hanno la stessa direzione. Forse esce con meno calcoli se si svolge con i vettori..

Una cosa per puntualizzare... la distanza d è considerata tra i baricentri, ma dopo lo scavo il baricentro della sfera varia, come ci comportiamo (penso che si possa trattare come la distanza tra i centri (o i baricentri prima dell'urto, ma mi serve solo una conferma))?

Secondo: (premetto che sto camminando sulle uova... ) non si potrebbe considerare il contributo dell'infinitesimo di massa alla distanza e sviluppare poi il tutto nel contesto della sfera mediante un'integrazione? Spesso la forza bruta non serve, ma non vedo strade più rapide per smontare questo problema... Ora potete lapidarmi...

la soluzione è

c e da considerare il baricentro nuovo della massa M
qualcuno puo dare un interpretazione ?
p.s non so alle olimpiadi italiane quanto successo avrebbe avuto qst problema