Abbandonando l'emisfera

Alex90 · Messaggio da **Alex90** » 14 lug 2009, 17:32

Un corpo di massa $m$ si trova sulla cima di un'emisfera di massa $M$ posta su un piano orizzontale. Non vi è alcun tipo di attrito tra le superfici. Quale angolo forma il corpo rispetto alla posizione iniziale nel momento in cui perderà contatto con l'emisfera?

Solimano · Messaggio da **Solimano** » 14 lug 2009, 22:00

Provo ad impostare una sorta di soluzione sebbene non riesca a trovare un risultato preciso!!

Allora: dalla conservazione dell'energia e della quantità di moto, trovo:

$mgr=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}MV^2+mgrcos\theta$

$MV=mvcos\theta$

Quindi

$\frac{1}{2}mv^2(1+\frac{m}{M}cos^2\theta)=mgr(1-cos\theta)$

$v^2=2gr\frac{1-cos\theta}{1+\frac{m}{M}cos^2\theta}$

Affinchè il corpo si stacchi, la reazione dell'emisfera dev'essere almeno nulla, qundi per il distacco ho:

$R=mgcos\theta+m\frac{v^2}{r}+MAsin\theta=0$

con A accelerazione orizzontale dell'emisfera tale che:

$MA=Rsin\theta$

Quindi:

$R(1-sin^2\theta)=mgcos\theta+m\frac{v^2}{r}$

$Rcos^2\theta=mgcos\theta+m\frac{v^2}{r}$

$\frac{mg}{cos\theta}+\frac{2mg}{cos^2\theta}\frac{1-cos\theta}{1+\frac{m}{M}cos^2\theta}=0$

$\frac{1}{cos\theta}+\frac{2}{cos^2\theta}\frac{1-cos\theta}{1+\frac{m}{M}cos^2\theta}=0$ .

Adesso ho "qualche" problemino a risolvere l'equazione e il che mi insospettisce non poco!

Controllate vi prego!!!!!!

P.S. Bel problema!!!

pascal · Messaggio da **pascal** » 14 lug 2009, 22:49

Risolvendo il problema in coordinate cartesiane, trovo un risultato leggermente diverso, ma comunque di terzo grado rispetto a $\cos \theta$ . Per m << M la soluzione dovrebbe tendere a quella della semisfera ferma.

Solimano · Messaggio da **Solimano** » 15 lug 2009, 10:29

Scusate, ricontrollando i conti trovo che la componente della forza centrifuga ha lo stesso verso della reazione dell'emisfera, quindi ho:

$R=mgcos\theta-m\frac{v^2}{r}+MAsin\theta=0$

da cui (tralasciando tutti i passaggi precedentemente scritti):

$\frac{1}{cos\theta}-\frac{2}{cos^2\theta}\frac{1-cos\theta}{1+\frac{m}{M}cos^2\theta}=0$

Per M>>m trovo:

$cos\theta=\frac{2}{3}$

Per risolvere l'equazione sopra trovata, si potrebbe utilizzare la formula di Cardano: L'equazione è del tipo:

$x^3+px+q=0$

con

$x=cos\theta$

$p=\frac{3M}{m}$

$q=-\frac{2M}{m}$

La soluzione di tale equazione è data da:

$x=(-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}})^\frac{1}{3}+(-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}})^\frac{1}{3}$

Quindi:

$cos\theta=(\frac{M}{m}+\sqrt{\frac{M^2}{m^2}+\frac{M^3}{m^3}})^\frac{1}{3}+(\frac{M}{m}-\sqrt{\frac{M^2}{m^2}+\frac{M^3}{m^3}})^\frac{1}{3}$ .

Sinceramenta questo risulatato mi sembra piuttosto improbabile!!!!!!!!!!!!!!

Alex90 · Messaggio da **Alex90** » 15 lug 2009, 12:06

Che la risposta venga come risultato di un'equazione di terzo grado è giusto...il testo originale suggeriva poi di risolverlo per $m=M$ ...se volete cimentatevi

CoNVeRGe. · Messaggio da **CoNVeRGe.** » 15 lug 2009, 13:18

A me viene

$\displaystyle \sin^3 \alpha \cdot x - 3 \sin \alpha \cdot (x+1) + 2 (x + 1) = 0 \qquad x = m/M$

Per $\displaystyle m = M$ mi esce $\displaystyle \alpha = 47°$

Mi sono impantanato nei calcoli?

pascal · Messaggio da **pascal** » 15 lug 2009, 13:34

Trovo la stessa equazione, ma in $\cos \theta$ . Ovviamente il tuo angolo è rispetto all'orizzontale.

CoNVeRGe. · Messaggio da **CoNVeRGe.** » 15 lug 2009, 13:40

Oddio si, certo, non avevo realizzato che il testo chiedeva l'angolo rispetto alla posizione iniziale.
Il tuo risultato mi rassicura

, allora correggo: $\displaystyle \theta = 43°$ .

Solimano · Messaggio da **Solimano** » 15 lug 2009, 13:56

Con i miei stupidi conti e ponendo M=m, trovo $\theta=53°$

Sapreste dirmi dove sbaglio????

CoNVeRGe. · Messaggio da **CoNVeRGe.** » 15 lug 2009, 13:56

Solimano ha scritto: $R=mgcos\theta-m\frac{v^2}{r}+MAsin\theta=0$

Non capisco tanto questa; in che sistema di riferimento sei?

Abbandonando l'emisfera

Abbandonando l'emisfera

Re: Abbandonando l'emisfera

Re: Abbandonando l'emisfera

Re: Abbandonando l'emisfera

Re: Abbandonando l'emisfera

Re: Abbandonando l'emisfera

Re: Abbandonando l'emisfera

Re: Abbandonando l'emisfera

Re: Abbandonando l'emisfera

Re: Abbandonando l'emisfera