galleggiamento instabile

[vittorio.C]

Un pezzo di legno, di densità r = 0,8 g/cm, approssimabile ad un semicilindro di lunghezza L = 0,5 m e raggio R = 0,3 m, galleggia sull'acqua di uno stagno, con la superficie piana rivolta verso l’alto. Un corpo C puntiforme, di massa m = 1kg, è fissato sul bordo del legno, a metà lunghezza. Si calcoli l’inclinazione rispetto all’orizzontale della superficie piana del pezzo di legno.

[modesto]

Se si considera il pezzo di legno senza il corpo puntiforme sul bordo, esso galleggia come una barca con la superficie piana orizzontale rivolta al cielo, con una massa di ed il centro di massa giacente nella sua sezione verticale a metà lunghezza (semicerchio) ad una profondità dove O è il centro del cerchio cui appartiene il semicerchio e G è il centro di massa (sulla verticale per O perpendicolare alla superficie piana del legno e a quella dell'acqua). Stante il rapporto fra le densità, è immerso per circa l'80% del suo volume.Quando si mette il corpo C sul bordo, il centro di massa del sistema si sposta da G in H (sulla congiungente) GC dividendola in due parti proporzionali a 1 e 56,5. La nuova verticale per il centro di massa del sistema H forma con la verticale precedente lo stesso angolo che la superficie piana del legno forma ora con la superficie orizzontale (peraltro uguale all'angolo di cui ruota C). E' l'angolo di cui si è inclinata la superficie piana e, se non ho sbagliato i conti, dovrebbe essere,imponendo l'uguaglianza dei momenti del peso di C e di quello del legno applicato in G rispetto all'asse orizzontale per O
cioè 2,3°.

[Cesare]

La nuova verticale per il centro di massa del sistema H forma con la verticale precedente lo stesso angolo che la superficie piana del legno forma ora con la superficie orizzontale (peraltro uguale all'angolo di cui ruota C). E' l'angolo di cui si è inclinata la superficie piana e, se non ho sbagliato i conti, dovrebbe essere,imponendo l'uguaglianza dei momenti del peso di C e di quello del legno applicato in G rispetto all'asse orizzontale per O
cioè 2,3°.

Io non ho capito bene questo pezzo... Cioè, è chiaro che il centro di massa si sposta, ma non capisco bene quando parli di "angolo tra le verticali"... Cioè, non ho capito bene come fanno le verticali per i due centri di massa a formare tra loro un angolo e soprattutto non mi è chiaro come faccia a calcolarlo... Hai eguagliato la spinta di Archimede applicata al corpo (nel centro di massa della parte immersa si intende) e quella del peso applicato al nuovo centro di massa ?

[modesto]

Non so se riesco a trovare nuove parole. Ci vorrebbe un disegno e mi spiegherei, ma non ne sono capace.
Quando non è presente C, il legno galleggia come una barca con la superficie piana del semicilindro (rettangolo che ha per lati la lunghezza L e il diametro 2R) rivolta verso l'alto e giacente su un piano orizzontale parallelo a quello della superficie dell'acqua. E' immerso per circa l'80% del suo volume. Consideriamo la sezione verticale del semicilindro a metà lunghezza L perpendicolare alla superficie piana. Si tratta palesemente di un semicerchio avente per diametro 2R e appartenente al cerchio diciamo di centro O. La verticale passante per O, per il centro di massa G del legno e per il centro di spinta è la prima verticale di cui parlo. E' perpendicolare alla superficie piana del semicilindro e rimarrà tale anche se essa ruota (come succederà)attorno all'asse longitudinale (lungo L) del rettangolo passante per O. Ecco perchè l'angolo di cui ruota questa verticale è identico all'angolo di cui ruota, inclinandosi rispetto al piano orizzontale, la superficie piana del semicilindro.
Quando è presente C sul bordo (diciamo per fissare le idee alla nostra destra) il baricentro G del legno e la verticale per esso ruotano di un certo angolo in senso orario verso sinistra attorno all'asse citato. Il baricentro H del sistema legno+corpo giace sulla nuova verticale (spiccata sempre da O e passante anche per il nuovo centro di spinta) perpendicolare al piano orizzontale dell'acqua.
La nuova verticale forma quindi con la vecchia verticale lo stesso angolo che la superficie piana del legno forma ora con il piano orizzontale della superficie dell'acqua: è l'angolo richiesto di cui si è inclinata la superficie piana del legno rispetto al piano orizzontale.
Per determinarlo ho imposto l'uguaglianza dei momenti del peso di C e di quello del legno applicato in G rispetto al citato asse longitudinale orizzontale per O, asse di rotazione.

[Gabry]

Per determinarlo ho imposto l'uguaglianza dei momenti del peso di C e di quello del legno applicato in G rispetto al citato asse longitudinale orizzontale per O, asse di rotazione.

Hai considerato anche i momenti dovuti alla spinta di Archimede?

[modesto]

Ho scritto che la nuova verticale per O passa per H (nuovo centro di massa) e per il centro di spinta. Ho ritenuto che: 1) Il momento della spinta è nullo perchè all'equilibrio la sua retta d'azione (la verticale) intercetta in O l'asse di rotazione perpendicolare a questa verticale 2) Ciò accade anche quando c'è solo il legno: la spinta giace sulla verticale per O e per G ed ha momento nullo.

[Cesare]

Grazie mille, sei stato gentilissimo, ho capito !