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Un disco, con un canale che lo attraversa da parte a parte passando per il centro, ruota intorno al suo centro di moto uniforme con velocità angolare . Una pallina di dimensioni trascurabili viene sparata dentro il canale che attraversa il disco in rotazione, con velocità
Quali caratteristiche ha il moto della pallina dopo che è entrata nel disco?

E' un problema che ho inventato da solo e mi interessa la soluzione. Io ho pensato di mettermi nel sistema di riferimento che ruota solidarmente con il disco. In questa condizione vedo la pallina muoversi lungo il canale nel disco, dunque la sua traiettoria diventa rettilinea. Allora l'unica forza ad agire sulla pallina dovrebbe essere quella centrifuga (ho valutato anche la forza di Coriolis e mi sembra che non dovrebbe intervenire sul moto).

Mi basterebbe allora risolvere l'equazione differenziale (dove s è la posizione della pallina rispetto al centro del disco) ?

Carico un'immagine che spero possa aiutare a comprendere la situazione del problema.

\ http://img834.imageshack.us/img834/48 ... atorio.png

Anche io ho trovato un moto decelerato ricavando l'equazione del moto. Comunque mi sembra un problema molto interessante perchè sebbene l'accelerazione della pallina non sia costante, si può studiare il suo moto in modo molto semplice. Poi si possono fare molte considerazioni su questa situazione. Si potrebbe per esempio studiare come varia il tempo di permanenza della pallina nel canale al variare della velocità iniziale .

Scrivo l'equazione del moto che ho ricavato, così se qualcuno vuole può controllarla.

Morley ha scritto:Mi basterebbe allora risolvere l'equazione differenziale (dove s è la posizione della pallina rispetto al centro del disco) ?

La soluzione che dai, ancorché corretta formalmente, non descrive bene secondo me le caratteristiche del moto dentro il disco proprio perchè l'equazione della dinamica non tiene conto che s deve essere minore o uguale ad R - poichè se è maggiore non c'è più forza centrifuga ed essa non vale. Per cui secondo la tua soluzione quando t diverge anche s diverge e questo non ha senso per il tuo problema. Meglio risolverla secondo me con un trucco che ho visto su Problemi di Fisica. Moltiplicando ambo i membri per e per : il primo membro risulta il differenziale di ed integrando si ricade nel principio di conservazione dell'energia dal momento che la forza centrifuga è posizionale e discende dall'energia potenziale . Si ottiene facilmente

che è molto più espressiva nell'ipotesi che, come nel tuo problema, s sia minore o uguale ad R. Infatti se il secondo membro è nullo ovvero , la pallina si arresta al livello s<R prima di raggiungere il centro e inverte il percorso fino ad essere espulsa con la stessa velocità con cui era entrata. Per ciò avviene proprio per s=0 cioè quando arriva nel centro. Se invece per ogni s<R, la pallina supera il centro e viene espulsa dal disco dalla parte opposta sempre a velocità .
Aggiungendo l'attrito si determina un'ulteriore frenamento proporzionale alla forza di Coriolis e l'equazione differenziale contiene un altro termine. Io la saprò risolvere fra due anni se va bene dovendo ripetere III liceo . Penso che ci sia solo la tua soluzione, però rimane sempre il problema s<R che non saprei affrontare...