PreIPhO 2009-Problema 2

[Rigel]

Sembra che il primo problema non vi abbia tenuti impegnati per molto e quindi ecco il secondo problema.

Deflessione di particelle
Una corrente elettrica percorre un lungo conduttore cilindrico cavo, non magnetico, di raggio interno e raggio esterno .
La corrente è distribuita uniformemente nella sezione del conduttore (ovvero la densità di corrente è uniforme).
La lunghezza è molto maggiore di e si trascurino eventuali effetti ai bordi.
1. Dimostrare che il campo magnetico prodotto in ogni punto P dello spazio dalla corrente elettrica , può avere solo componente tangenziale rispetto alla circonferenza passante per P e centrata sull'asse del conduttore.
2. Trovare il campo magnetico prodotto dalla corrente elettrica in funzione della distanza dall'asse del cilindro. Distinguere i tre casi ; ; .
Una particella di carica positiva e massa , viaggia con velocità iniziale nella stessa direzione ma verso contrario della corrente elettrica .
3. Determinare la deflessione subita dalla particella a partire dalla sua distanza iniziale dall'asse del conduttore. Si può ipotizzare che la velocità della particella sia sufficientemente elevata che la deflessione sia piccola e la velocità si mantenga costante in modulo.

Questo problema era a mio avviso il più facile fra i tre, anche se il testo lasciava spazio a diverse interpretazioni. Come deflessione infatti, in gara era accettata sia la deviazione angolare subita dalla particella a partire dalla sua direzione iniziale, sia lo spostamento in senso radiale rispetto all'asse del cilindro. Inoltre io in gara ho supposto (e suppongo di aver supposto bene ) che la particella partisse con velocità da un'estremità del cilindro e che la deflessione andasse calcolata quando la particella raggiungeva la fine del cilindro.
Buon lavoro

[Pairo]

Intanto ringrazio Rigel di essersi preso il tempo di postare il problema
Ok provo a dare la soluzione :

1) Prendiamo un punto P dello spazio, e supponiamo che esista una componente del campo magnetico non tangente alla circonferenza descritta. Allora si individua anche una componente del campo magnetico in P trasversale alla direzione della corrente. Ma questo è impossibile, infatti per il teorema di Ampere, questo implicherebbe che ci fosse una corrente netta che attraversa il conduttore perpendicolarmente (quindi in particolare dovrebbe esserci una forza elettromotrice che genera la corrente). Siccome questo non è vero, in P abbiamo che il campo magnetico ha solo componente tangente alla circonferenza passante per P e centrata sull'asse del conduttore.

2) Se il campo magnetico è nullo, per il teorema di Ampere. Consideriamo . Allora, sempre per il teorema di Ampere, detta la densità superficiale di corrente, abbiamo:



Infine, se , poiché l'intensità di corrente non dipende più dalla distanza, si ha:



3) Sulla particella, per quanto detto, agisce una forza magnetica



Tale forza tenderà a deviare la particella facendola curvare verso l'alto. Sebbene il campo vari con la deviazione verso l'alto della particella, possiamo considerare il campo costante perché la deviazione è piccola. Possiamo calcolare il raggio di curvatura della particella, tenendo conto del fatto che la forza magnetica costituisce il ogni punto l'accelerazione centripeta:



Per trovare la deviazione in termini di distanza radiale dall'asse del conduttore sfruttiamo la geometria della figura, assumendo che poiché la deviazione è piccola possiamo considerare il raggio di curvatura costante. Detta tale deviazione,abbiamo:



Possiamo sviluppare i calcoli trascurando il termine al quadrato della deviazione, perché di un ordine superiore. Con un po' di passaggi, otteniamo allora:



Per la deviazione angolare abbiamo invece, sempre dalla geometria della figura:



Sostituendo infine l'espressione per il raggio di curvatura, otteniamo la deviazione in funzione dei dati iniziali:

[pascal]

Hai risolto un bel problema di elettromagnetismo.
Esprimo qualche semplice osservazione.
Per la direzione del campo magnetico conviene suddividere il conduttore in tante correnti parallele al suo asse. Consideriamo un punto P in cui vogliamo stabilire la direzione del campo, un piano passante per l’asse del conduttore e per P, due correnti simmetriche rispetto ad . Queste in P generano due campi che hanno una risultante ortogonale ad . L’estensione a tutte le coppie simmetriche di correnti fornisce il risultato.

Inoltre, la si può ottenere anche applicando uno dei teoremi di Euclide, con l’approssimazione richiesta, al triangolo rettangolo di ipotenusa 2R ed altezza relativa L.

[Pairo]

Per la direzione del campo magnetico conviene suddividere il conduttore in tante correnti parallele al suo asse. Consideriamo un punto P in cui vogliamo stabilire la direzione del campo, un piano passante per l’asse del conduttore e per P, due correnti simmetriche rispetto ad . Queste in P generano due campi che hanno una risultante ortogonale ad . L’estensione a tutte le coppie simmetriche di correnti fornisce il risultato.

Grazie mille per la dimostrazione, è stata molto istruttiva!

[Ippo]

un'altra argomentazione carina è la seguente:
se il campo magnetico ha componente radiale (diretta verso l'asse) in quanche punto P, allora per la simmetria cilindrica che caratterizza il cavo la stessa componente radiale (entrante o uscente) è presente in tutti i punti della superficie cilindrica coassiale col cavo e passante per P; ciò viola chiaramente la legge di Gauss sul campo magnetico (il flusso netto attraverso quella superficie gaussiana cilindrica non è nullo).

[pascal]

D'accordo per la componente radiale.
E per l'eventuale componente parallela al filo?

[pascal]

Si potrebbero conciliare i due metodi applicando inizialmente il criterio di simmetria delle correnti parallele per individuare la direzione del campo e verificando poi la validità del teorema di Gauss per .