Gas e strato di materiale in un pistone

[Pigkappa]

Visto che mi sembrate poco affaccendati, vi suggerisco questo problema istruttivo. Fonte: è stato dato a un esame di Fisica 2 (il primo degli esami in cui compare Termodinamica). Livello: forse potrebbe essere l'inizio di un problema IPhO che contiene altre domande più brutte.


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Sul fondo di un cilindro di sezione S munito di un pistone mobile si trova uno strato di materiale di capacità termica . Sia il cilindro che il pistone sono impermeabili al calore. Nella parte superiore si trovano moli di un gas perfetto monoatomico. Inizialmente il sistema è all'equilibrio termodinamico, con pressione e temperatura note.

1.) Si raddoppia molto lentamente la pressione. Calcolare la nuova temperatura.

2.) Partendo dalla stessa condizione iniziale, si raddoppia istantaneamente la forza applicata al pistone. Calcolare anche in questo caso la temperatura nello stato finale di equilibrio.

3.) Calcolare la variazione di entropia del sistema e dell'universo nei due casi precedenti.

[Alex90]

Il materiale sul fondo è incomprimibile giusto?

[Pigkappa]

Sì, è uno strato di materiale solido, incomprimibile, con temperatura di fusione molto elevata (cioè non si scioglie mai mentre avvengono le trasformazioni) e capacità termica indipendente dalla temperatura.

[Loren Kocillari89]

Non riesco a capire il fatto per cui la capacità termica non dipende dalla temperatura...

[Pigkappa]

Consideriamo un corpo alla temperatura che non è in procinto di cambiare stato. Se indichiamo con una piccola quantità di calore scambiato dal corpo (con se il corpo assorbe il calore, se il corpo cede il calore all'ambiente esterno), e con la piccola variazione di temperatura dovuta al calore scambiato dal corpo, definiamo la capacità termica del corpo alla temperatura come:



Nella maggior parte dei casi si verifica sperimentalmente che è, per variazioni della temperatura non troppo grandi, pressochè indipendente da . In quasi tutti i problemi di termodinamica, le capacità termiche dei corpi si considerano costanti, e perciò si usa la relazione .


In altre parole: il materiale in fondo al cilindro si comporta in modo normalissimo!


[Intermezzo]E' il 666° post di questa sezione! Eeeh!

[/Intermezzo]

[Falco5x]

Livello: forse potrebbe essere l'inizio di un problema IPhO che contiene altre domande più brutte

Alla faccia!
Già così non mi sembra mica tanto banale questo esercizio!!!

[Pairo]

Ci provo:
Primo punto:
Per il primo principio della dinamica, si ha:

dove





Allora per la e per le tre equazioni precedenti, si ha:

Scriviamo ora l'equazione dei gas perfetti, per la trasformazione:

che si semplifica,con un po' di passaggi,trascurando il termine di ordine superiore in

Dalla e dalla ,semplificando si ha

Sostituendo e separando le variabili, si ha finalmente:

Possiamo risolvere ora l'equazione differenziale. Chiamiamo per comodità il coefficiente del secondo membro. Tenendo conto che per si deve avere , ottentiamo:

da cui, per si ottiene finalmente:



Secondo punto:
La pressione in questo caso può essere considerata costante per tutta la compressione del cilindro, con valore doppio rispetto a . Allora possiamo scrivere, per la conservazione dell'energia:

e d'altra parte, si ha l'equazione dei gas perfetti:

Risolvendo le due equazioni nelle due incognite possiamo trovare la temperatura di equilibrio; con un po' di passaggi, si ottiene:



Ovviamente aspetto le correzioni . Adesso non ho tempo per il punto 3, perché devo tornare a scuola; dovrei riuscire a lavorarci un po' questa sera, sempre che non debba correggere i primi due punti .. Grazie mille per il post comunque!

[Falco5x]

Mi sembra che hai sistematicamente sbagliato un segno.
La prima volta sta nella relazione
In realtà la temperatura cresce quando il volume cala (compressione, dunque devi cambiare il segno di uno dei due termini).
Analogamente verso la fine, nel caso della compressione veloce.
Per il resto sei sulla buona strada.

[Pigkappa]

Livello: forse potrebbe essere l'inizio di un problema IPhO che contiene altre domande più brutte

Alla faccia!
Già così non mi sembra mica tanto banale questo esercizio!!!

Neanche gli IPhO sono tanto banali però, o perlomeno non lo sono tutti . Comunque il segno sbagliato credo si origini da:

Con la convenzione che si prende di solito (il lavoro fatto dal gas è positivo, quello fatto sul gas è negativo), se P è la pressione del gas, ci vuole l'altro segno. La strada che hai imboccato è quella giusta, comunque.

[Pairo]

Sì, scusate, mi sono sbagliato, grazie. Allora nel primo caso, l'errore porta ad una diversa espressione di che corretta dovrebbe essere:

Nel secondo caso, la temperatura diventa:



Passo al terzo punto. Riscriviamo il primo principio (questa volta con il segno giusto ):

Sostituendo, e tenendo conto che si ha:

cioè

Possiamo ora integrare dallo stato iniziale allo stato finale, osservando che il membro di sinistra è proprio la variazione di entropia del sistema. Si ha:

La variazione di entropia è allora determinata, poichè è stata calcolata nel punto 1, e

Per la variazione di entropia del secondo punto, ci accorgiamo che la trasformazione non è reversibile, ma poiché l'entropia del sistema è una funzione di stato, ne calcoliamo la variazione come al punto precedente, immaginando trasformazione reversibile tra gli stati iniziale e finale. Come prima, otteniamo perciò:



Dove è quella calcolata al punto 2, e con

Per quanto riguarda l'entropia dell'universo: nel primo caso, si ha una trasformazione quasi statica, da cui la variazione di entropia dell'universo è . Per il secondo caso ho invece qualche dubbio: poiché si tratta di una trasformazione irreversibile l'entropia dell'universo aumenta, ma ho difficoltà a rendere il tutto quantitativo.