Staffetta meccanica

[Pigkappa]

[se nessuno sa cosa è una trasformazione di Lorentz lasciate perdere e proponete qualcos'altro...]

Servono le trasformazioni di Lorentz? a occhio direi che si può applicare la conservazione della quantità di moto nell'urto e poi imporre che l'energia relativistica della particella 3 sia minore o uguale alla somma delle energie delle particelle 1 e 2.

Si può fare anche senza trasformazioni di Lorentz, ma credo che il conto venga significativamente più brutto.

[Rigel]

Siccome sono masochista non ho usato le trasformazioni di Lorentz (no è solo che non mi è venuto in mente nulla col primo metodo )
i conti sono abbastanza brutti e magari salterò qualche passaggio più difficile da texxare.
l'energia prima dell'urto è . nell'urto si conserva la quantità di moto e quindi l'energia sarà . per la conservazione dell'energia deve essere ed elevando i due membri al quadrato si ha:



Chiamo a tutta quella roba al secondo membro e c'ho (usando l'espressione relativistica della quantità di moto):


se chiamo b la frazione-mostro dentro la parentesi il denominatore diventa il denominatore diventa

e quindi si ha

sostituendo b si ricava:

Magari scritta così la formula è più bella ma non so se è giusta

[Pigkappa]

Ok, il risultato mi torna e anche il metodo è corretto. Forse sarebbe venuto meno contoso se come dati avessimo preso invece di .

Quello che avevo in mente io era questo:

1)Scrivere energia e quantità di moto.
2)Passare al sistema , in cui la quantità di moto è zero (lo si trova con una trasformazione di Lorentz).
3)In questo sistema, la massa dopo l'urto sarà ferma e quindi basta imporre che .
4) si calcola con la stessa trasformazione di Lorentz di prima.

Però ho provato poco fa e, in questo caso, i conti vengono piuttosto brutti lo stesso.


Un metodo meno contoso è dire che il modulo del quadrivettore energia-impulso non dipende dal sistema di riferimento, perciò sarà lo stesso in e in , e in vale . I quadrivettori non sono programma olimpico, comunque, e sarebbero stati utili sì e no un paio di volte in 40 anni di IPhO, perciò non sono proprio una priorità...

[Ippo]

tra l'altro è praticamente un esercizio del nostro ultimo compitino interno di fisica

[Rigel]

Visto che toccherebbe a me continuare la staffetta posto un problema che ho trovato carino e che ho un pò modificato.
Problema 12. Immaginiamo una pallina puntiforme con energia cinetica E che si muove all'interno di una sfera cava di raggio R. i rimbalzi contro le pareti interne della sfera sono elastici. determinare la pressione P che la pallina esercita sulla sfera

[Eagle]

Poiché supponiamo che qualsiasi collisione della massa con la parete sia elastica, quando questa pallina collide con la parete, la componente della quantità di moto parallela alla parete si conserva mentre quella perpendicolare resta uguale modulo, ma inverte verso; di conseguenza:



L'urto con la parete circolare può essere trattato localmente come quello su una parete piana, per questo la massa compie una traiettoria chiusa, che è quella di un poligono con lati; di conseguenza:



Sostituendo la seconda espressione nella prima ottengo che:



Il risultato ottenuto è indipendente dal numero degli urti. Ricordando che la superficie della sfera è:



Dunque la pressione esercitata dalla pallina sulla sfera è:



dove e

Attendo il responso

[Rigel]

ok perfetto

[Eagle]

Un attimo di pausa... dovrò pensare ad un altro problema da postare...

Anche la staffetta ha il fiatone!

[Eagle]

L'attesa è terminata: ecco il nuovo problema dal titolo "Dispute tra fisici"
Problema 13
Leibniz si trova sulla torre di Pisa (altezza ) per ripetere gli esperimenti di Galileo, usando delle mele. Vede sopraggiungere Newton che cammina in piazza dei Miracoli e che all'istante si trova alla distanza dalla base della torre. Leibniz decide di colpirlo lanciando una mela orizzontalmente, con velocità iniziale all'istante . Sapendo che Newton viaggia spedito alla velocità ,
(a) calcolare quale è il valore affinchè Leibniz abbia successo;
(b) se Leibniz lancia la mela con velocità e la mela rimbalza al suolo, conservando la componente orizzontale della velocità e riducendo la componente verticale di un fattore , quanto deve essere affinché la mela colpisca Newton?

[Stardust]

Personalmente avrei preferito fosse Leibniz a prenderle, come vendetta per quella benedetta storia filosofica delle monadi...
Inoltre Newton è già stato colpito una volta da una mela, mi sembra ingiusto continuare ad infierire.