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1. Dal mio post precedente abbiamo con e . Trascurando U(d) abbiamo allora . Da essa si ricava prendendo la soluzione NEGATIVA perchè se dx è negativo dt è positivo e viceversa. Si ottiene facilmente
. Integrando con x da d ad x si ottiene il tempo del processo con la sferetta giunta ad x da d. Per x=R+r si ha il tempo dell'intero processo: facendo le semplificazioni connesse a d>>R>>r si ottiene (un tempo molto lungo e a prescindere da errori materiali). Si ottiene anche che si trasforma nel calore Q. Inoltre essendo affluita durante il tempo del processo la carica q sulla superficie ci deve essere stata una corrente media temporale pari a che ha attraversato la resistenza media e quindi per il teorema della media la quantità di calore prodotta per effetto Joule è . L'energia dissipata in calore nell'intero processo è quindi
2. In questo caso il centro attrattore ( la immagine negativa dove si può immaginare applicata la risultante attrattiva delle forze delle immagini) ruota attorno al centro del satellite insieme alla sferetta sollecitata dalla velocità iniziale v ortogonale alla congiungente (hanno la stessa velocità angolare). Centro, immagine negativa e sferetta rimangono allineati. Si conserva il momento angolare della sferetta rispetto all'attrattore negativo perchè è sempre nullo. La componente radiale del moto della sferetta rimane quella del punto 1. e pertanto la durata e sono identici. Invece l'energia cinetica che si dissipa è . In tutti i conti, dove è necessario, bisogna moltiplicare le energie cinetiche o elettriche per .
3. La velocità angolare della sferetta e dell'attrattore negativo quando la sferetta arriva ad R+r, affinchè si verifichi l'impatto, deve essere tale da spazzare un angolo minore di durante il tempo . La conservazione del momento angolare della sfera implica che ovvero che v sia così piccola da essere minore di , risultando quindi inversamente proporzionale al quarta potenza di d. L'energia cinetica rotazionale inizialmente rimane, come deve, inalterata perchè perde in momento di inerzia quello che guadagna in e quindi è impregiudicata la risposta al punto 2.
4. Confermo la mia versione precedente con la velocità calcolata uguagliando forza centripeta a forza attrattiva. In un tempo molto lungo, essendo una carica accelerata che irradia energia elettromagnetica, la sferetta spiralizza sul satellite.

modesto ha scritto: Che c'entra se c'è il lavoro della forza? Secondo il ragionamento di Bolzo88 l'energia dissipata è la differenza fra l'energia iniziale e quella finale.

Il ragionamento vale solo se il lavoro delle forze esterne è nullo: sanno anche quelli del terzo liceo che vale ed ha validità generale (se non tocchiamo la relatività). Nel nostro caso non ci sono forze esterne al sistema di satellite e sfera.
Per renderti conto di ciò fai un bilancio energetico: considera le energie iniziali e e finali (mi pare che eri d'accordo anche tu nel considerare semplicemente prima la sfera e poi il satellite isolato) e introduci il calore che hai calcolato: l'energia in un sistema isolato deve conservarsi necessariamente.

modesto ha scritto: Ma poi evitate sempre di considerare un problemino: perchè nel testo danno che nelle vostre proposte di soluzione non conta?
E' proprio per fissare quella dinamica cui accenna Gabry fra resistenza incontrata e tempi di percorrenza che è decisiva per il calore prodotto. Ma chiedetevi: in un test sns come è possibile che enfatizzino un dato che poi non serve per la soluzione? Mi fa venire in mente la storiella di quello che accomodò (così disse) l'orologio ma gli ..."avanzarono" alcune viti.

Ho già detto la mia interpretazione: ti dicono che ha una resistività finita cioè che si verifica l'effetto joule. Nell'ultimo punto infatti (quello in cui la sferetta è in orbita) è essenziale conoscere che è presente una resistività per l'evoluzione del sistema: infatti la sferetta non resterà in orbita ma a causa dell'effetto Joule perderà mano a mano energia cinetica (deve infatti "spostare" le cariche immagine sul satellite mentre si muove, incontrando una certa resistenza) per cadere a spirale fino al satellite, quindi "non avanza nessuna vite".
Ma passiamo ad una spiegazione analitica che dovrebbe lasciare meno spazio a incomprensioni. Consideriamo il flusso di carica attraverso una barra di lunghezza l e sezione A, il calore disperso per effetto joule vale cioè calcoliamo il tempo impiegato dalle cariche a percorrere la barra : dove vd è la velocità di deriva delle cariche (nel caso di un conduttore solido gli elettroni). la velocità di deriva vale nei conduttori e il tempo impiegato quindi da cui il calore vale . n è la densità dei portatori di carica e può essere espressa come il numero di elettroni di conduzione (generalmente variabile da 1 a 3 nei metalli) per il numero di atomi per unità di volume.

Prevengo eventuali commenti su n: può essere scritta in funzione di ? La risposta è si attraverso la formula ma a quel punto bisognerebbe aggiungere due nuovi valori: la massa dei portatori di carica e il tempo medio di percorrenza tra un urto e l'altro , quindi la resistività non è utile per calcolare il calore dissipato in questo caso.

modesto ha scritto:1) Si tratta del valor medio della resistenza ovviamente ammettendo che il percorso medio di una carica sia dell'ordine del raggio R, l'unica possibile grandezza lineare coinvolta. L'integrale in dr non serve perchè quella che conta è la superficie sferica di raggio massimo che è attraversata da TUTTE le cariche!
2) Infatti si tratta di una media nel tempo. Noi abbiamo l'integrale di esteso da 0 alla durata del processo; esiste il teorema della media in analisi che afferma proprio che il valore dell'integrale è dato dal valor medio della funzione integranda, cioè appunto , per l'ampiezza dell'intervallo di integrazione cioè

1) Ma stai facendo un ragionamento esatto o di ordine di grandezza? A noi serve un ragionamento esatto, al massimo approssimando a zero cose piccole rispetto al totale delle quantita' analizzate.
2) Ribadisco che il valor medio di e' diverso dal quadrato del valor medio di .

modesto ha scritto:Ma poi evitate sempre di considerare un problemino: perchè nel testo danno che nelle vostre proposte di soluzione non conta?
E' proprio per fissare quella dinamica cui accenna Gabry fra resistenza incontrata e tempi di percorrenza che è decisiva per il calore prodotto. Ma chiedetevi: in un test sns come è possibile che enfatizzino un dato che poi non serve per la soluzione? Mi fa venire in mente la storiella di quello che accomodò (così disse) l'orologio ma gli ..."avanzarono" alcune viti.

Enfatizzano un dato che poi non serve per vedere se sei bravo ad accorgerti che non serve, o piu' semplicemente perche' ti devono dire che c'e' una resistivita' non nulla (e questo serve anche nella mia soluzione) e un nome glielo dovranno pur dare.

Posto intanto le mie soluzioni ai punti successivi:
2) La sfera si muove con velocità v ortogonale alla congiungente satellite-sfera. Conservando il momento angolare (si è trascurato il contributo della sfera al momento di inerzia del satellite avendo dimensioni e massa trascurabili) da cui (strano, speravo in qualcosa di trascurabile). Non resta quindi che aggiungere alla precedente conservazione dell'energia (rispettivamente iniziale e finale) l'energia cinetica della sfera e quella rotazionale del satellite.
La forza attrattiva tra sfera è satellite in realtà non è esattamente una forza centrale (e quindi il momento angolare non dovrebbe conservarsi), infatti la resistività fa in modo che le cariche spostandosi trovino una certa resistenza e quindi è presente anche una componente tangenziale non facilmente definibile e quindi sarebbe una maggiore quantità di energia a convertirsi in calore, tuttavia se la velocità è piccola questo fenomeno è trascurabile.
3) la velocità della sfera deve essere piccola altrimenti questa potrebbe restare in orbita o addirittura scappare via dal campo della forza del satellite.
4) Come accennato nel punto due la resistività del satellite fa in modo che le cariche trovino una certa resistenza a spostarsi e quindi esercitino anche una componente tangenziale sulla sferetta. In poche parole la sferetta incontra una specie di "attrito" e inizia a perdere velocità seguendo una traiettoria a spirale fino ad incontrare il satellite.

Credo che a questo punto ci siamo detti tutto, rimanendo sostanzialmente delle proprie opinioni. Concordo con Bolzo88 sull'approssimazione rispetto ad : il fatto è che per risolverlo con esattezza bisognerebbe calcolare ma almeno a me viene poi un integrale che non so risolvere (i famosi conti brutti...):ecco perchè ho deciso su quell'approssimazione. Comunque questi sarebbero questioni "interne" al mio procedimento che tu non condividi e certamente non a causa di quell'approssimazione....
Ho poi commesso un errore di copiatura dagli appunti. Siccome la forza attrattiva è sempre diretta anche verso il centro fisso del satellite si conserva il momento angolare della sferetta -non della sferetta e del satellite come mi sembra intenda Gabry la cui relazione non mi sembra corretta nemmeno dimensionalmente - anche rispetto a questo punto e dunque va fatta intervenire la velocità angolare quando la sferetta arriva ad R+r ( che è maggiore di quando è in d ma ha perso in momento di inerzia per cui la sua energia cinetica rotazionale si conserva e lascia corretta la risposta al punto 2)
Provvedo alla correzione e sarò curioso di vedere come risponderete al punto 3 senza calcolare la durata del processo: come assicurerete che la sfera impatta il satellite?
Infine Bolzo88 se la soluzione ufficiale ti darà ragione - presumendo che uscirà - qualcuno dovrà spiegarmi prima che vada al test come è possibile che si dissipi SEMPRE la stessa anche se il satellite è fatto di materiale superconduttore (dissipazione praticamente nulla) e l'energia cinetica che si dissipa sembra indipendente dal materiale di cui è fatto il satellite.

Il momento angolare totale si conserva (non essendoci forze esterne) quindi all'urto il statellite inizia a girare, l'unico dubbio che mi è venuto è che la forza non è esattamente centrale a causa della resistività che "dissipa" parte dell'energia cinetica (anzi potrebbe essere che a causa di ciò il satellite inizi a girare già prima dell'urto conservando così il momento angolare e equiparando la perdita di energia della sferetta). Se il satellite è fatto di materiale superconduttore l'energia cinetica della sferetta è maggiore perchè non incontra la resistività che rallenta la sferetta nello spostare le cariche.

modesto ha scritto:Credo che a questo punto ci siamo detti tutto, rimanendo sostanzialmente delle proprie opinioni. Concordo con Bolzo88 sull'approssimazione rispetto ad : il fatto è che per risolverlo con esattezza bisognerebbe calcolare ma almeno a me viene poi un integrale che non so risolvere (i famosi conti brutti...):ecco perchè ho deciso su quell'approssimazione. Comunque questi sarebbero questioni "interne" al mio procedimento che tu non condividi e certamente non a causa di quell'approssimazione....
Ho poi commesso un errore di copiatura dagli appunti. Siccome la forza attrattiva è sempre diretta anche verso il centro fisso del satellite si conserva il momento angolare della sferetta -non della sferetta e del satellite come mi sembra intenda Gabry la cui relazione non mi sembra corretta nemmeno dimensionalmente - anche rispetto a questo punto e dunque va fatta intervenire la velocità angolare quando la sferetta arriva ad R+r ( che è maggiore di quando è in d ma ha perso in momento di inerzia per cui la sua energia cinetica rotazionale si conserva e lascia corretta la risposta al punto 2)
Provvedo alla correzione e sarò curioso di vedere come risponderete al punto 3 senza calcolare la durata del processo: come assicurerete che la sfera impatta il satellite?
Infine Bolzo88 se la soluzione ufficiale ti darà ragione - presumendo che uscirà - qualcuno dovrà spiegarmi prima che vada al test come è possibile che si dissipi SEMPRE la stessa anche se il satellite è fatto di materiale superconduttore (dissipazione praticamente nulla) e l'energia cinetica che si dissipa sembra indipendente dal materiale di cui è fatto il satellite.

Ok, ci siamo detti tutto. Tieni presente che alla fine l'idea generale della tua soluzione mi torna, tuttavia, a meno di sbagliare apposta qualche dettaglio, vengono conti troppo brutti per essere fatti. Per questo bisogna cercare un altro approccio con conti meno brutti.

Se il satellite e' fatto di superconduttore non si dissipa in calore nessuna energia. Tuttavia, non essendoci la resistenza che frena le cariche, potresti avere che alla fine del processo c'e' una corrente che scorre sulla superficie del satellite. La corrente, poi, genera sicuramente campi magnetici e, se non e' costante, pure campi elettromagnetici che disperdono l'energia. Insomma, succedono cose che non avverrebbero con un valore finito della resistivita'.

Adesso non ho tempo, appena ne ho controllo la soluzione di Gabry.

Gabry ha scritto:Posto intanto le mie soluzioni ai punti successivi:
2) La sfera si muove con velocità v ortogonale alla congiungente satellite-sfera. Conservando il momento angolare (si è trascurato il contributo della sfera al momento di inerzia del satellite avendo dimensioni e massa trascurabili) da cui (strano, speravo in qualcosa di trascurabile). Non resta quindi che aggiungere alla precedente conservazione dell'energia (rispettivamente iniziale e finale) l'energia cinetica della sfera e quella rotazionale del satellite.
La forza attrattiva tra sfera è satellite in realtà non è esattamente una forza centrale (e quindi il momento angolare non dovrebbe conservarsi), infatti la resistività fa in modo che le cariche spostandosi trovino una certa resistenza e quindi è presente anche una componente tangenziale non facilmente definibile e quindi sarebbe una maggiore quantità di energia a convertirsi in calore, tuttavia se la velocità è piccola questo fenomeno è trascurabile.
3) la velocità della sfera deve essere piccola altrimenti questa potrebbe restare in orbita o addirittura scappare via dal campo della forza del satellite.
4) Come accennato nel punto due la resistività del satellite fa in modo che le cariche trovino una certa resistenza a spostarsi e quindi esercitino anche una componente tangenziale sulla sferetta. In poche parole la sferetta incontra una specie di "attrito" e inizia a perdere velocità seguendo una traiettoria a spirale fino ad incontrare il satellite.

Concordo su tutto nei punti 2 e 3. Nel punto 4 non e' cosi' banale dire che la sferetta spiraleggia verso il satellite. C'e' un effetto che tenderebbe ad allontanarla rispetto all'orbita circolare perche' diminuisce leggermente il modulo della componente radiale della forza proprio a causa del fatto che le cariche sul satellite rimangono un po' indietro: perche' questo effetto e' trascurabile?
Inoltre non mi sembra cosi' banale dire che la sfera spiraleggia fino a incontrare il satellite: potrebbe stabilizzarsi su un'orbita circolare piu' piccola, con il satellite che gira tutto alla stessa del moto di rivoluzione della sferetta. Questa situazione mi sembra molto improbabile ma non ho trovato un modo per escluderla con certezza.

Quando la sfera viene rallentata di una certa quantità essa si stabilisce su un orbita di raggio minore: dato che le cariche si spostano con una certa velocità all'inizio la forza tra sfera e satellite è minore di quella che si ha quando le cariche si sono posizionate dove dovrebbero per mantenere la sfera equipotenziale, ma ancora uguale a quella precedente quindi avendo perso velocità la sfera si posiziona sicuramente in un orbita di raggio minore. Appena le cariche raggiungono la configurazione "esatta" (se lo spostamento è molto veloce possiamo considerare che approssimativamente la raggiungono prima che la sfera perda ulteriore energia altrimenti comunque si spostano solo un pò, sicuramente però la forza attrattiva aumenta) la sfera perde un altro pò di quota e così via... Sicuramente non sarà un percorso esattamente a spirale (la perdita di energia tende a diminuire mano a mano che il satellite gira più velocemente) ma più o meno l'idea della traiettoria è quella. E' interessante ciò che mi hai fatto notare, cioè che effettivamente per alcuni valori di v iniziale della sferetta (non credo siano tutti bisognerebbe verificare utilizzando la conservazione del momento angolare) satellite e sferetta raggiungono una configurazione di equilibrio con il satellite che ha la stessa velocità angolare della congiungente i due centri.

Gabry ha scritto:Il momento angolare totale si conserva (non essendoci forze esterne) quindi all'urto il statellite inizia a girare, l'unico dubbio che mi è venuto è che la forza non è esattamente centrale a causa della resistività che "dissipa" parte dell'energia cinetica (anzi potrebbe essere che a causa di ciò il satellite inizi a girare già prima dell'urto conservando così il momento angolare e equiparando la perdita di energia della sferetta). Se il satellite è fatto di materiale superconduttore l'energia cinetica della sferetta è maggiore perchè non incontra la resistività che rallenta la sferetta nello spostare le cariche.

Tutto il problema è segnato dal fatto che M>>m tanto da poter trascurare le rotazioni di M attorno al comune baricentro. Infatti anche nella tua relazione - che hai giustamente modificato dopo la mia osservazione - la velocità angolare che trovi è praticamente nulla dipendendo dal rapporto m/M con la condizione M>>m. Ecco perchè si deve conservare il momento angolare della sferetta rispetto al centro del satellite: considerando il satellite FISSO e prendendo atto che la forza di attrazione della sferetta da parte del satellite passa SEMPRE per il centro fisso di quest'ultimo potendosi quindi considerare quello che tu neghi: una forza CENTRALE.
E' buffo poi che il calore che si sviluppa nel satellite non dipenda dalla sua resistività mentre ne dipenderebbe l'energia cinetica della sferetta! Ma quest'ultima è calcolabile ed è stata calcolata - ti prego di leggere anche quello che scrivono gli interlocutori - con la conservazione dell'energia: dipende dall'energia potenziale della sferetta medesima nel campo delle immagini sul satellite ed è ASSOLUTAMENTE INDIPENDENTE sia dalla resistività che dal materiale di cui è costituito il satellite-conduttore, sia esso super o semi.