sns 2012 n.1

[Gabry]

Se riesco a trovare il problema te lo dico, non credo dovrebbero esserci particolari problemi è semplicemente l'energia di un conduttore isolato giusto? (io lo calcolo considerandolo come un condensatore sferico con l'altro piatto all'infinito)

[Bolzo88]

Se riesco a trovare il problema te lo dico, non credo dovrebbero esserci particolari problemi è semplicemente l'energia di un conduttore isolato giusto? (io lo calcolo considerandolo come un condensatore sferico con l'altro piatto all'infinito)

Esatto, e' l'energia di un conduttore isolato e la calcoli come quella di un condensatore sferico con un'armatura di raggio infinito.

[michele95]

Comunque il problema a cui credo alludiate è il numero 1 del 2010.

Questo è il link: http://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-an ... em%201.pdf

[Gabry]

Comunque il problema a cui credo alludiate è il numero 1 del 2010.

Esatto era proprio questo!

[modesto]

Sto riflettendo sulla soluzione di Bolzo88 (finalmente!) e, se ho ben capito, il calore prodotto è semplicemente la differenza fra due energie elettrostatiche, quelle delle sfere di raggio r ed R. Quindi si poteva dire: si parte con l'energia elettrostatica della sferetta, trascurando la tenue energia "di legame" U(d) che la lega al satellite, e si arriva, dopo l'urto, con l'energia elettrostatica del satellite: come se si portassero i dq della sferetta all'infinito e poi si portassero sul satellite. Evidentemente c'è una perdita di energia, che a parità di carica è inversamente proporzionale al raggio, che si trasforma in calore. Data q, r ed R, è determinata la quantità di calore prodotto. Correggimi se sbaglio.
Ribadisco allora: perchè hanno dato ? Infatti mi chiedo: nel fenomeno reale le cariche non vanno all'infinito e di lì sul satellite. Passano alla superficie del satellite dal corpo del satellite - attraverso un conduttore di data resistività . E' possibile che il calore prodotto da questo passaggio REALE di cariche non dipenda dalla resistenza incontrata? Sicchè a parità di q e di raggi r ed R o che il satellite fosse fatto di un metallo o di un altro non conta nella quantità di calore prodotto?
Prima di condividere la tua soluzione vorrei una risposta su questo punto.

[Bolzo88]

Ribadisco allora: perchè hanno dato ? Infatti mi chiedo: nel fenomeno reale le cariche non vanno all'infinito e di lì sul satellite. Passano alla superficie del satellite dal corpo del satellite - attraverso un conduttore di data resistività . E' possibile che il calore prodotto da questo passaggio REALE di cariche non dipenda dalla resistenza incontrata? Sicchè a parità di q e di raggi r ed R o che il satellite fosse fatto di un metallo o di un altro non conta nella quantità di calore prodotto?
Prima di condividere la tua soluzione vorrei una risposta su questo punto.

La resistenza e' una specie di forza di attrito sul moto delle cariche, che le frena e trasforma parte dell'energia in calore. Il fatto che il calore prodotto dal passaggio reale di cariche non dipenda dalla resistenza incontrata non e' da escludere a priori, e con la mia dimostrazione faccio vedere che e' proprio cosi'.

Sul fatto che le cariche non passano dall'infinito: spesso non ci passano in problemi con le energie potenziali, pensa per esempio allo studio di un'orbita in potenziale gravitazionale. Tieni presente che l'energia potenziale e' una cosa tale che la differenza tra due energie potenziali ci da' il lavoro che ha fatto il campo elettrico. Nel nostro problema troviamo quindi che il campo elettrico ha fatto un lavoro pari a . Dato che questo lavoro non e' andato in energia cinetica (alla fine sia i corpi che le cariche sono fermi) si e' trasformato in calore.

Per convincerti meglio ti propongo un'analogia con questo problema di meccanica:
un corpo di massa m si trova, fermo, in cima a un piano inclinato di altezza h. Il corpo inizia a scendere lungo il piano inclinato fino ad arrivare al piano di appoggio, ad altezza 0. Tra il corpo e il terreno c'e' una forza di attrito, che a un certo punto fa in modo che il moto del corpo si arresti. Qual e' l'energia dissipata in calore?

Per risolvere questo problema calcoli l'energia iniziale, l'energia finale e fai la differenza.

[modesto]

Non sono assolutamente d'accordo con i tuoi ragionamenti, non solo sulla resistenza ma nemmeno con quello sull'energia cinetica. Analogia per analogia, te ne faccio una più congrua con il nostro caso. Prendo un pomodoro e, accompagnandolo un pò con il movimento del braccio in modo che la sua velocità iniziale sia nulla, lo faccio spiaccicare (c'è sul vocabolario) con urto anelastico su un muro. L'energia meccanica iniziale era nulla, quella finale lo stesso: quindi secondo il tuo ragionamento non dovrebbe prodursi calore! Se un'energia cinetica all'inizio non c'è, poi compare e scompare perchè si è trasformata in calore e quindi alla fine non c'è, secondo te il calore prodotto non esiste?
Fuor di metafora, credo a questo punto di poter postare anche la mia soluzione. Non avendo tempo per i dettagli in questi giorni, ti dico come è concepita - ritornando, sui nostri passi, come si può dire.
L'energia potenziale della sferetta nel campo delle immagini è quella già postata U(x), dove x è la distanza fra i centri. Rispetto ad essa, soprattutto al diminuire di x, U(d), che è inversamente proporzionale alla quarta potenza di d, è assolutamente trascurabile. Pertanto l'energia cinetica della sferetta a x uguaglia il valore assoluto di U(x). E' possibile ricavare (dx/dt) in funzione di x e, separando le variabili, esprimere dt in funzione di x moltiplicata per dx. Si può ricavare integrando sia il tempo di percorrenza fino ad x sia il tempo impiegato dalla sferetta a percorrere il tratto da d a R+r, cioè il tempo dell'intero processo. Allora ai fini della domanda punto 1.:
a) l'energia cinetica all'impatto, pari a U(R+r), si trasforma nella quantità di calore Q.

b) il dato indiscutibile è che nel tempo di percorrenza totale "aggalla" alla superficie del satellite la carica q; quindi c'è stata nel satellite una corrente media I data dal rapporto fra q e il tempo di percorrenza attraverso una resistenza che può porsi dato che tutte le cariche che vanno in superficie devono attraversare la superficie sferica di raggio R; allora il calore prodotto sarà.
Quindi il calore totale del processo è, secondo me, e così posterò la mia soluzione del punto 1.

[Gabry]

Non credo che il tuo esempio vada bene prima di tutto perchè è presente un lavoro di una forza esterna tra l'altro non conservativa: il pomodoro viene spinto dal braccio (mi pare di aver capito che il pomodoro non cade ma ad esempio rotola sul pavimento altrimenti l'energia iniziale e finale sarebbero diverse). Consideriamo un'altro esempio analogo: una sfera posta ad altezza h cade e urta anaelasticamente contro il pavimento, il calore prodotto dipende dalla resistenza dell'aria? No, l'aria limita semplicemente la velocità con cui avviene il processo ma alla fine il calore prodotto dalla resistenza dell'aria più quello prodotto dall'urto è lo stesso indipendentemente dalla resistenza dell'aria. Inoltre sappiamo che il corpo ha una certa energia iniziale e una certa energia finale il calore può essere solo la differenza tra queste due energie altrimenti ci sarebbe un difetto o aumento energetico, cosa che non è possibile.
Cerchiamo di capire però cosa accade nel nostro caso: la resistività non cambia la disposizione (e quindi l'energia finale) delle cariche, determina infatti solo il tempo in cui si raggiunge l'equilibrio. Infatti con una resistività minore le cariche si muovono più velocemente (quindi maggiore corrente e maggiore potenza dissipata per effetto joule) ma per arrivare al loro posto impiegano un tempo minore, invece con una resistività maggiore la velocità di deriva sarà minore ma la potenza dissipata per effetto joule sarà anch'essa minore: meno potenza ma per un tempo più lungo, il risultato è uguale.

[Bolzo88]

Fuor di metafora, credo a questo punto di poter postare anche la mia soluzione. Non avendo tempo per i dettagli in questi giorni, ti dico come è concepita - ritornando, sui nostri passi, come si può dire.
L'energia potenziale della sferetta nel campo delle immagini è quella già postata U(x), dove x è la distanza fra i centri. Rispetto ad essa, soprattutto al diminuire di x, U(d), che è inversamente proporzionale alla quarta potenza di d, è assolutamente trascurabile. Pertanto l'energia cinetica della sferetta a x uguaglia il valore assoluto di U(x). E' possibile ricavare (dx/dt) in funzione di x e, separando le variabili, esprimere dt in funzione di x moltiplicata per dx. Si può ricavare integrando sia il tempo di percorrenza fino ad x sia il tempo impiegato dalla sferetta a percorrere il tratto da d a R+r, cioè il tempo dell'intero processo. Allora ai fini della domanda punto 1.:
a) l'energia cinetica all'impatto, pari a U(R+r), si trasforma nella quantità di calore Q.

b) il dato indiscutibile è che nel tempo di percorrenza totale "aggalla" alla superficie del satellite la carica q; quindi c'è stata nel satellite una corrente media I data dal rapporto fra q e il tempo di percorrenza attraverso una resistenza che può porsi dato che tutte le cariche che vanno in superficie devono attraversare la superficie sferica di raggio R; allora il calore prodotto sarà.
Quindi il calore totale del processo è, secondo me, e così posterò la mia soluzione del punto 1.

Sono d'accordo concettualmente con il punto a, anche se non dico nulla sui conti perche' non li ho controllati.
Il punto b e' sbagliato, per due motivi:
1) La resistenza e' calcolata come? Mi pare che tu assuma che le cariche q attraversano tutta la sfera dal centro fino alla superficie. Questo fatto e' tutto da dimostrare. Inoltre, assumendolo (cosa che secondo me e' sbagliata) non viene la formula che dici te ma dovresti fare un integrale in dr calcolando a ogni raggio la superficie sferica attraversata.
2) Dato che il calore dissipato non e' lineare nell'intensita' (e' ) non puoi calcolarlo usando la corrente media. Per esempio, tra un'intensita' I costante e un'intensita' che vale 0 per meta' del tempo e 2I per l'altra meta', il calore dissipato cambia di un fattore 2 anche se l'intensita' media e' la stessa.

Per quanto riguarda gli esempi e le analogie ti ha risposto bene Gabry, spero che ti abbia convinto.

[modesto]

Sono d'accordo concettualmente con il punto a, anche se non dico nulla sui conti perche' non li ho controllati.
Il punto b e' sbagliato, per due motivi:
1) La resistenza e' calcolata come? Mi pare che tu assuma che le cariche q attraversano tutta la sfera dal centro fino alla superficie. Questo fatto e' tutto da dimostrare. Inoltre, assumendolo (cosa che secondo me e' sbagliata) non viene la formula che dici te ma dovresti fare un integrale in dr calcolando a ogni raggio la superficie sferica attraversata.
2) Dato che il calore dissipato non e' lineare nell'intensita' (e' ) non puoi calcolarlo usando la corrente media. Per esempio, tra un'intensita' I costante e un'intensita' che vale 0 per meta' del tempo e 2I per l'altra meta', il calore dissipato cambia di un fattore 2 anche se l'intensita' media e' la stessa.Per quanto riguarda gli esempi e le analogie ti ha risposto bene Gabry, spero che ti abbia convinto.

1) Si tratta del valor medio della resistenza ovviamente ammettendo che il percorso medio di una carica sia dell'ordine del raggio R, l'unica possibile grandezza lineare coinvolta. L'integrale in dr non serve perchè quella che conta è la superficie sferica di raggio massimo che è attraversata da TUTTE le cariche!
2) Infatti si tratta di una media nel tempo. Noi abbiamo l'integrale di esteso da 0 alla durata del processo; esiste il teorema della media in analisi che afferma proprio che il valore dell'integrale è dato dal valor medio della funzione integranda, cioè appunto , per l'ampiezza dell'intervallo di integrazione cioè

Per quanto riguarda gli esempi di Gabry, mi rafforzano nella mia opinione. Che c'entra se c'è il lavoro della forza? Secondo il ragionamento di Bolzo88 l'energia dissipata è la differenza fra l'energia iniziale e quella finale. L'ha ribadito più volte e secondo lui il primo punto si risolve a quel modo. Ora ammetterete che nell'esempio del pomodoro l'energia iniziale del pomodoro è nulla. C'è come dice Gabry il lavoro del braccio che conferisce poi al pomodoro energia cinetica. Il pomodoro si spiaccica con urto anelastico sul muro e l'energia cinetica si trasforma in calore come sappiamo. L'energia cinetica finale è quindi nulla. Seguendo Bolzo88 non ci dovrebbe essere produzione di calore perchè l'energia iniziale e quella finale sono entrambe nulle!

Ma poi evitate sempre di considerare un problemino: perchè nel testo danno che nelle vostre proposte di soluzione non conta?
E' proprio per fissare quella dinamica cui accenna Gabry fra resistenza incontrata e tempi di percorrenza che è decisiva per il calore prodotto. Ma chiedetevi: in un test sns come è possibile che enfatizzino un dato che poi non serve per la soluzione? Mi fa venire in mente la storiella di quello che accomodò (così disse) l'orologio ma gli ..."avanzarono" alcune viti.