Sfera carica divisa

[pascal]

Il rapporto fra due infinitesimi può rimanere infinitesimo; un esempio diverso può fugare la difficoltà: dato il rettangolino di lati infinitesimi dx e dy con area infinitesima dS = dx dy, nessuno mi impedisce di ricavare dy = dS/dx, che è ancora infinitesimo.
Per quanto concerne l’ulteriore quesito, diamo il tempo agli studenti di rispondere.

[modesto]

Si deve allora dedurre che né dF/dS né dS/dx sono derivate, pur essendo scritte con la notazione di Leibniz per le medesime. Come ti dicevo, forse è un problema mio di scarsa dimestichezza con il calcolo differenziale. Approfondirò. Attualmente concluderei che la notazione rappresenta una derivata se gli infinitesimi sono dello stesso ordine e il loro rapporto è pertanto finito, altrimenti rappresenta un semplice rapporto di infinitesimi.

[pascal]

Svolgo qualche altra considerazione sul suddetto rettangolo, ma essenzialmente concordo con le tue conclusioni.
Se esso ha altezza costante y, si ha dS = y dx e il differenziale dS ha base infinitesima e altezza finita, perciò dS/dx = y.
Quando pure x è variabile si ha dS / (dy dx) = 1 e il rettangolino dS ha entrambe le dimensioni infinitesime. Per essere pignoli, in quest’ultimo esempio, si potrebbe scrivere per indicare una derivata seconda parziale rispetto a x e y.