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Insomma se ho capito dovremmo calcolare $(1/T)\int_0^T[1/r(t)]dt$ avendo io a disposizione $[1/r(\theta)]=(a-c cos\theta)/b^2$ . Ho tentato più volte di derivare $r(\theta)$ rispetto al tempo, compare anche $d\theta/dt$ che però non riesco ad esprimere per mezzo di $r(\theta)$ perchè se integro ritorno al punto di partenza. Questo è il mio blocco attuale

L'hint è sempre quello di prima, pensa a cosa si conserva

DeoGratias ha scritto: ↑
14 feb 2022, 17:45
Mi scuso con @roncu e con gli altri per l'attesa, nell'ultima settimana ho partecipato allo Stage in SNS e non ho avuto abbastanza tempo per ricontrollare tutto
Il risultato è vicino a quello corretto, ma c'è ancora qualche errore:
roncu ha scritto: ↑
6 feb 2022, 11:39
Dall'equazione dell'ellisse e dalla traiettoria si ricava che se m(x,y) è la posizione della particella e l'asse x contiene il semiasse maggiore a allora $r(t) = \sqrt{ (x+c)^2 + y^2}$ . D'altra parte è noto che se nell'equazione dell'ellisse $(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1$ si pone X=x/a e Y=y/b si ottiene il cerchio goniometrico con $X= cos\alpha, Y=sen \alpha$ con $\alpha$ angolo con l'asse x che non ha nulla a che vedere con quello precedente. Da cui $x=a cos\alpha, y=b sen\alpha$ . Per cui $r(t)=\sqrt{(a cos\alpha + c)^2 + b^2.sen^2\alpha}$ che ponendo $b^2=a^2-c^2$ fornisce $r(t) = a+ c cos\alpha$ .
Questo risultato è sbagliato: se il tuo ellisse è centrato nell'origine e $\alpha$ è l'angolo che la retta passante per $O$ e $P(x,y)$ forma con l'asse x, allora dovresti avere $\frac{y}{x}=\tan \alpha$ per ogni punto dell'ellisse, cosa che invece con la tua formula non accade, visto che stai facendo una dilatazione del piano. Inoltre l'angolo $\alpha$ che hai scelto non ti è granché d'aiuto nel resto dei calcoli, visto che non rappresenta una quantità fisica che puoi calcolare facilmente in funzione di altre già note. Ti consiglio di provare a porre l'origine nel fuoco e a trovare l'equazione dell'ellisse in funzione dell'angolo tra $r$ e l'asse maggiore, visto che è la forma che ti può tornare più utile
roncu ha scritto: ↑
6 feb 2022, 11:39
Ma per quanto visto $<1/r(t)>= (1/T)\int_0^T \frac{1}{r(t)}dt = (1/2\pi) \int_0 ^{2\pi} \frac{1}{(a+c cos \alpha)} d\alpha$ e quindi $<1/r(t)> = 1/\sqrt{a^2-c^2}= 1/b$
Qui sbagli affermando che $\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\frac{\textup{d}t}{r(t)}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\frac{\textup{d}t}{a+c\cos(\alpha(t))}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{\textup{d}\alpha}{a+c\cos\alpha}$ , visto che non conosci la dipendenza di $\alpha$ da $t$ . La forma corretta sarebbe infatti $\frac{1}{T}\int_{0}^{2\pi}\frac{\textup{d}\alpha}{\dot{\alpha}(a+c\cos\alpha)}$ . Nel caso dell'angolo $\alpha$ che hai scelto sei pressoché costretto a fermarti qui, tuttavia ce n'è un altro che ti consentirebbe di proseguire senza troppi problemi

@DeoGratias questo post è corretto dal post successivo che rappresenta il mio attuale punto di vista

Purtroppo non ti capisco e non capisco neppure perchè hai ribadito il tuo post

Avevo però pensato che ora, contrariamente alla mia primitiva impostazione, $d\theta/dt$ fosse costante poichè $I.d^2\theta/dt^2=0$ e sarebbe allora uguale a quello iniziale $d\theta/dt=\alpha.v_1/r_0$ . Esso compare a denominatore nell'integrale $\int_0^{2\pi}\frac{1}{r(\theta].d\theta/dt}.d\theta$ Allora risulterebbe $(1/2\pi).\int_0^{2\pi}\frac{a-c cos\theta}{b^2}.(r_0/\alpha.v_1)d\theta$ . Siccome il valor medio del coseno è nullo(non conta quindi il segno che ha davanti...) il risultato finale sarebbe $\frac{a.r_0}{b^2.\alpha.v_1}$ . Se questa strada fosse corretta terminerei il conto. Altrimenti continuerò a pensarci....

Visto che non mi hai risposto, ne approfitto per correggere il precedente. Sono d'accordo che la forma corretta sarebbe $\frac{1}{T}.\int_0^{2\pi} \frac{(a-c cos \theta)}{b^2.d\theta/dt}.d\theta$ (come scrivi la seconda volta diversamente dalla prima dove alfa-punto era a numeratore). Ma se come dicevo $d\theta/dt$ è costante non c'è bisogno di calcolarlo perchè semplicemente $\frac{1}{T.d\theta/dt}=\frac{1}{2\pi}$ . Dunque l'integrale diventa $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{a - c cos\theta}{b^2}.d\theta$ . Siccome il valor medio del coseno è nullo, il <1/r(t)> risulterebbe $\frac{a}{b^2}$ . Come nel post precedente, se la strada è corretta, completerò il conto. Altrimenti continuerò...

Ho fatto anche il conto definitivo sulla base del post precedente sostituendo a e b e avrei ottenuto
$<K>= (2/3)m\pi r_0^2\rho_0G [\alpha^2-2+(2/\alpha^2)]$ . Si osserva anche ora che per $\alpha=1$ si riduce a $(1/2)mv_1^2$

In realtà non volevo ribadire il messaggio, ho solo notato un typo ( $\dot{\alpha}$ sarebbe dovuto essere al denominatore, non al numeratore) ma devo aver sbagliato qualcosa nell'invio

La tua osservazione su $\dot{\theta}$ purtroppo è sbagliata: se così fosse verrebbe violata una legge di conservazione (che hai già sfruttato). Ti suggerisco di rifletterci, visto che è proprio ciò che ti serve per risolvere l'integrale.

Ci rifletterò ma non è vero che teta due punto e' nulla?Dove sbaglio se rispetto al sistema usato il momento della forza mi pare nullo? Scusa ma ho un guasto alla linea e devo usare un linguaggio retorico

E' vero che il momento della forza gravitazionale è nullo, ma questo non implica $\ddot{\theta}=0$ .
$\tau=I\ddot{\theta}$ vale solo quando il momento d'inerzia $I$ rimane invariato, mentre in questo caso ciò non accade. D'altronde, se $\dot{\theta}$ fosse costante, la velocità all'afelio sarebbe maggiore di quella al perielio, il che è assurdo.

Si ho proprio detto una bischerata

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