Consideriamo una nube di gas, fatta da particelle finissime, che all'istante
è sferica di raggio
e ha una densità
)
. Ogni particella si muove, all'istante iniziale, con una velocita
)
tangenziale rispetto alla sfera di raggio
, orientata in modo casuale sul piano tangente alla sfera in quel punto. Si trascurino le collisioni tra le particelle della nube, che quindi interagiscono solo tramite forze gravitazionali.
1. Determinare
)
affinché la configurazione
 = v_0)
sia stabile nel tempo.
2. Determinare
affinché la configurazione
 = \rho_0)
sia stabile nel tempo. Sia
)
la risposta a questa domanda.
Supponiamo d'ora in poi che
e
 = \alpha v_1 (r))
, con
. Assumiamo inoltre che, per ogni coppia di particelle
)
, se
 > r_j (t = 0))
, allora
 > r_j(t))
per ogni
(no shell-crossing).
3. Trovare la posizione di massimo avvicinamento al centro della nube di ogni particella, in funzione della sua posizione iniziale
.
4. Dimostrare che il moto globale della nube è periodico e trovarne il periodo.
5. Vericare che l'ipotesi di
no shell-crossing è consistente.
6. Calcolare l'energia cinetica media di una particella di massa
in funzione di
.
corrisponde ad una forza centripeta uguale all'attrazione gravitazionale e quindi corrisponde ad una traiettoria circolare di raggio r, se consideriamo la velocità iniziale
essa dovrebbe corrispondere ad una traiettoria ellittica interna alla circonferenza in cui il perielio sarebbe la posizione più vicina al centro. Per il no shell crossing per ogni t, se all'inizio l'ellissae parte da una posizione più lontana, questa si mantiene tale per ogni t. Quindi ogni particella della nube e quindi la nube eseguirebbe questo moto periodico con periodo che forse sarebbe determinabile con la terza legge di Keplero. Ma imponendo la conservazione del momento angolare e dell'energia afelio-perielio incontro difficoltà di calcolo. Ti pregherei di dirmi, insieme agli errori dei primi due punti che ho postato, se è una strada senza sbocco...
