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Hai scritto:

bosone ha scritto: ↑
22 dic 2022, 12:36
E' $F_1(t), F'_1(t)>0 ; 0< t<\delta t/2$

Questo mi fa pensare che $F_1(t)$ sia definita solo per $0< t<\delta t/2$ e non si possa calcolarla fuori di questo intervallo. Poi dici che:

bosone ha scritto: ↑
22 dic 2022, 12:36
$v(T) = \int_0^T\frac{F_1(t) dt}{m} + \int_{\delta t/2}^T \frac{[2F_0-F_1(t)]dt}{m}$

Adesso, in questa formula, se $0< t<\delta t/2$ il secondo integrale è strano perché l'integrando superiore è minore di quello inferiore (di nuovo, questo non è di per sé sbagliato, ma secondo me non è quello che vuoi). Se $t > \delta t / 2$ , il problema è ancora più serio: nel primo integrale adesso stai calcolando $F_1(t)$ per valori di $T > \delta t / 2$ per cui non è definita. Probabilmente volevi intendere che se $T > \delta t / 2$ il primo integrale si ferma a $\delta t / 2$ , e se $T < \delta t / 2$ il secondo integrale non c'è, ma sottointendere cose di questo tipo rischia di causare confusione.

Vedo un modo di salvare questa notazione, potremmo definire $F_1(t) = 0$ se $t > \delta t / 2$ , $F_2(t) = 0$ se $t < \delta t / 2$ , e allora adesso è vero che (nota che ho reintrodotto $F_2$ ):
$v(T) = \int_0^T\frac{F_1(t) dt}{m} + \int_{\delta t/2}^T \frac{F_2(t)dt}{m}$

Comunque mi pare tu abbia fatto confusione ad usare il principio di simmetria, che è $F(\delta t/2 - t) = F(\delta t/2 + t)$ oppure anche $F(t) = F(\delta t - t)$ e se lo vuoi in termini delle derivate, $F_1'(t) = - F_2'(\delta t - t)$ . Le tue equazioni danno $F_2(t) = 2F_0 - F_1(t)$ che fatico ad applicare dato che $F_1$ ed $F_2$ sono definite su intervalli diversi. Ma anche solo sostituendo $t=0$ in questa equazione, viene $2F_0 = 0$ che è sbagliato.

bosone ha scritto: ↑
23 dic 2022, 19:03
secondo me $v(\delta t)$ viene a quel modo

Ti garantisco che il coefficiente 3/2 non c'è :p Ti faccio questa parte del problema e ti lascio provare $x(\delta t)$ che è più difficile, ma se metti a posto la tua notazione e quella cosa sulla simmetria ti dovrebbe venire.

$v(\delta t) = \frac{1}{m} \int_0^{\delta t}{F(t) dt} = \frac{\delta t}{m} \frac{1}{\delta t} \int_0^{\delta t}{F(t) dt} = \frac{\delta t F_0}{m}$
Dove ho manipolato la formula per mettere in evidenza la definizione di forza media per $F(t)$ . Per questo risultato non ho usato la simmetria di $F$ da nessuna parte e infatti non serve saperla. Ma per $x(\delta t)$ l'ipotesi della simmetria è necessaria.

4. Accolgo allora il suggerimento relativo a $F_1(t); 0<t<\delta t/2$ e $F_2(t) ; \delta t/2<t<\delta t$ . Al di fuori degli intervalli precisati per ciascuna $F_1(t) e F_2(t)$ sono nulle. Si può anche porre $F_2(t)=2F_0-F_1(t)$ e in termini di derivata $F'_2(t)=-F'_1(t)$ .Una crescente, l'altra decrescente simmetrica. Inoltre condivido il tuo calcolo di $v(T)=\int_0 ^T \frac{F_1(t) dt}{m} + \int_{\delta t/2}^T\frac {F_2(t) dt}{m} = \frac {F_0 T}{m} + \frac{F_0(T-\delta t/2)}{m}$ da cui emergono $v(\delta t/2) = \frac {F_0 \delta t}{2m}$ e $v(\delta t)=\frac{F_0 \delta t}{m}$ considerando che entrambe le funzioni hanno lo stesso valor medio $F_0$ .
Riprendendo la tua espressione della velocità con t al posto di T, provo ora a proseguire con il calcolo di $x(t)= \int_0^t v(t)dt = \int_0 ^t (\frac{F_0 t}{m}+\frac{F_0 t}{m} - \frac {F_0\delta t}{2m}) dt= \frac{F_0 t^2}{m} - \frac{F_0 t \delta t}{2m}$ da cui risulta $x(\delta t) = \frac{F_0 \delta t^2}{2m}$ che sembra coincidere con 1. Usando poi il teorema delle forze vive (variazione di energia cinetica fra 0 e $\delta t$ uguale lavoro svolto in questo intervallo) risulterebbe anche $W(\delta t) = \frac{F_0^2(\delta t)^2}{2m}$ in accordo con 1.
Non so se così possa andare o se ho commesso ancora qualche illecita semplificazione...

bosone ha scritto: ↑
27 dic 2022, 18:31
$v(\delta t/2) = \frac {F_0 \delta t}{2m}$ e $v(\delta t)=\frac{F_0 \delta t}{m}$ considerando che entrambe le funzioni hanno lo stesso valor medio $F_0$ .

Fin qui giusto

bosone ha scritto: ↑
27 dic 2022, 18:31
$x(t)= \int_0^t v(t)dt = \int_0 ^t (\frac{F_0 t}{m}+\frac{F_0 t}{m} - \frac {F_0\delta t}{2m}) dt$

Purtroppo questo no... $v(t)$ in generale non lo sai, dipende da $F(t)$ . Ad esempio se $F = F_0$ è costante vale $v(t) = \frac{F_0 t}{m}$ , ma se $F(t)$ è la tua funzione a triangolo usata in precedenza, vale $v(t) = \frac{2F_0}{\delta t^2} t^2$ per $t < \delta t/2$ , lo abbiamo dimostrato qua sopra.

Bisogna scrivere $x(t) = \int_0^t v(t)dt = \int_0^{\delta t/2} v(t)dt + \int_{\delta t/2}^{\delta t} v(t)dt$
E poi usare proprietà di simmetria di $v(t)$ rispetto a $\delta t/2$ per mettere insieme questi due integrali. Non intendo dire che $v(t)$ è simmetrica, ma dal fatto che la forza è simmetrica, si possono ricavare proprietà su $v$ . Manipolare integrali così, senza poterli calcolare, non si fa spesso prima dell'università ma secondo me si impara molto provandoci

Osservo che la
$x(t)=\int_0^t v(t) dt= \int_0^{\delta t/2} v(t)dt +\int_{\delta t/2}^{\delta t} v(t)dt= \int_0^{\delta t/2}[\int_0^t v'_1(t) dt]dt + \int_{\delta t/2}^{\delta t} [\int_0^t v'_2(t)dt]dt$
dove le v' sono le accelerazioni nei due intervalli ovvero $\frac{F_1(t)}{m}$ e $\frac{F_2(t)}{m}= \frac {F_1(\delta t-t)}{m}$ Le accelerazioni presenti in ciascun intervallo $0<t<\delta t/2$ e $\delta t/2<t<\delta t$ sono simmetriche, la prima crescente e la seconda decrescente entrambe positive. Per $t=\delta t/2$ entrambe hanno lo stesso valore il doppio del valor medio $2\frac{F_0}{m}$
Non so se sono sulla strada giusta perchè ora non saprei come risolvere gli integrali di x(t)

Devo ancora pensarci...

bosone ha scritto: ↑
29 dic 2022, 19:17
Non so se sono sulla strada giusta perchè ora non saprei come risolvere gli integrali di x(t) Devo ancora pensarci...

Eheh a quello ci ho dovuto pensare anch'io per un po'.

Ovviamente gli integrali indefiniti non si possono risolvere se $F(t)$ è generica. Ma bisogna dimostrare che l'integrale definito alla fine dà lo stesso risultato.

Ti dò un suggerimento grafico. $x(\delta t)$ è l'area sotto la curva di $v(t)$ . Metto due immagini della velocità di una certa forza $F(t)$ , nella prima evidenzio l'area sotto la curva, nella seconda due parti utili del grafico...

Immagine

Bisogna che capisca il senso dei grafici. Per me il significato è che, indipendentemente dalla particolare v(t), $x(\delta t)$ vale sempre $(1/2)\delta t$ aggiungendo e sottraendo i due spezzoni dell'area utile. E' questa la morale della favola o non ho capito un tubo?

Sì l'idea è esattamente quella.

La forma di quello spezzone di area dipende dalla forza, bisogna trovare un modo di dimostrare che i due spezzoni hanno area uguale per ogni F che soddisfa le ipotesi...

Nel post precedente mi veniva per $0<t<\delta t/2$ $v_1(t)=\int_0^t\frac{F_1(t)}{m}dt$ e per $\delta t/2<t<\delta t$ $v_2(t)= \int_{\delta t/2}^t \frac{F_1(\delta t -t)}{m} dt$ I due integrandi sono uguali e $F_1(t)$ è una funzione con le condizioni 2. Io dedurrei che l'area racchiusa da $v_1(t)$ e $v_2(t)$ è la stessa qualunque sia $F_1(t)$ e sfruttando il valor medio $F_0$ potrebbe essere calcolata per $t=\delta t/2$ e $t=\delta t$ . Potrebbe funzionare?

Non ho laptop per qualche giorno quindi scrivo senza latex...

Non ho capito del tutto, stai dicendo che l'area sotto v(t) per t < delta t / 2 e quella sotto v(t) per t > delta t /2 è uguale?

Dai grafici si vede che non è vero, quella tra delta t/2 e delta t è molto più grande dell'altra. D'altra parte v cresce sempre.

Ma si certo si vede bene dal primo dei due tuoi grafici. Mi sono espresso male, intendevo la somma delle due aree che sono tali che, aggiungendo alla prima e togliendo alla seconda lo spezzone dell'area utile, viene sempre nelle tue unità $(1/2)\delta t$ come si diceva. Mi pare una quantità indipendente dalla particolare F(t): basta che soddisfi a 2. con lo stesso valor medio $F_0$ . Questa mi pareva la dimostrazione che $x(\delta t)$ rimane lo stesso per tutte le F(t) 2.

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