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Ah sì certo. Inoltre quello che dici sul moto del c.d.m. è giusto. Quello che dici sul moto rotatorio invece no
Provate a visualizzare intuitivamente il fenomeno. Vi sembra verosimile che l'asta continui a descrivere un cono dopo essere stata rilasciata? (o due coni, dato che poi il punto fisso sarebbe il centro di massa e non l'estremità).
Cosa vi aspettate che faccia, più realisticamente?

Io dico che il CM parte per la tangente il punto in cui è stato lasciato, con velocità costante , e accelera verso il basso di accelerazione g. Per la definizione di centro di massa, il momento della forza di gravità rispetto ad esso è nullo. Mettiamoci in un sistema di riferimento solidale con il centro di massa sbarra. Nessun momento agisce su di esso, quindi è un buon polo in cui considerare il moto.
Consideriamo quindi tutti gli elementini dm della sbarra. Essi ruoteranno attorno al centro di massa descrivendo inizialmente due coni (per continuità con la situazione precedente al rilascio), ma su di essi agisce una forza centrifuga verso l'esterno che tenderà a farli "orizzontalizzare" allineandoli con il centro di massa.
Qualitativamente, insomma, dal punto di vista traslazionale la sbarra comincerà a cadere descrivendo un moto parabolico; dal punto di vista rotazionale continuerà a ruotare attorno al proprio centro di massa (questo ce lo confermano sperimentalmente i tiratori di lancio del martello ), ma tenderà ad assumere presto una posizione orizzontale al pavimento.
La velocità con cui ciò avviene non la so e non ho tempo di trovarla perché devo andare a mangiarmi una pizza con la mia ragazza . Spero solo che questa descrizione qualitativa affrettata abbia un minimo di senso.

Gauss91 ha scritto:Io dico che il CM parte per la tangente il punto in cui è stato lasciato, con velocità costante , e accelera verso il basso di accelerazione g. Per la definizione di centro di massa, il momento della forza di gravità rispetto ad esso è nullo. Mettiamoci in un sistema di riferimento solidale con il centro di massa sbarra. Nessun momento agisce su di esso, quindi è un buon polo in cui considerare il moto.
Consideriamo quindi tutti gli elementini dm della sbarra. Essi ruoteranno attorno al centro di massa descrivendo inizialmente due coni (per continuità con la situazione precedente al rilascio)

Ok, l'idea è giusta; la conclusione no. (scusami, non è che voglio torturarti, è solo per farti pensare xD)
Il moto del cdm è quello che descrivi tu. Quanto alla rotazione, "per continuità con la situazione precedente" significa che il momento angolare è conservato. L'effetto che descrivi dopo sarà dovuto alla natura non unidimensionale del martello, o alla resistenza dell'aria, non ne ho idea, comunque lo ignoriamo qui. L'asta gira a velocità angolare costante attorno al suo momento angolare. Tu però assumi che prima del distacco sia verticale, parallelo a . La domanda a questo punto diventa: dove punta mentre l'asta è fatta girare dal motore? Risolta questa questione è fatta. E questa era un po' la ragione del problema.


Hint enorme:
la funzione \vec L (\vec \omega) è lineare, cioé \vec L (\vec \omega_1 + \vec \omega_2)=\vec L (\vec \omega_1)+\vec L (\vec \omega_2). Questo si ricava dall'espressione integrale che ho scritto qualche post fa. Sappiamo inoltre che se \omega punta lungo l'asse è \vec L=0, mentre se è perpendicolare si ha \vec L={1 \over 12}M \ell^2 \hat n (\ell lunghezza dell'asta, per non confonderla col momento angolare; \hat n versore perpendicolare all'asta); a questo punto sfruttando la natura vettoriale di \vec \omega si conclude facilmente.

Ok ci provo. Il momento angolare è
. Se ho operato passaggi leciti e non ho sbagliato i calcoli, L è in ogni istante
, dove è il versore perpendicolare alla sbarra, e l è la lunghezza della sbarra.
Chiamo O l'estremo della sbarra attaccato al motore. Se è vero che il momento angolare si conserva una volta che la sbarra è stata rilasciata, L avrà sempre stessa direzione e modulo durante la caduta, e il momento angolare rispetto all'estremo O della sbarra rimarrà costante. Ciò significa che la sbarra ruoterà attorno un asse parallelo a con velocità . Calcolando il momento angolare in questo istante, adesso sì che è
. Per la conservazione del momento angolare, è inoltre , da cui
e infine
.
Essendo stata descritta la componente sia traslazionale sia rotazionale del moto, il problema è concluso.
Come va?

Ok, giusto!
Lo scopo del problema era solo mostrarvi una semplice situazione in cui e non sono paralleli, cosa che in genere non si vede prima dell'università e comunque anche lì si vede poco (noi in facoltà l'abbiamo giusto accennato durante un'esercitazione, e al secondo anno non so se è un argomento ripreso a meccanica analitica, bisognerebbe chiedere a Pig... il fatto che uno rischi di laurearsi in fisica credendo che sia un multiplo scalare di è abbastanza triste comunque )

Giusto per i curiosi, si può ricavare l'espressione generale per il momento angolare così:

Usando l'identità vettoriale nell'integrale che dà L si ottiene:
(e qui si vede che la direzione in generale non è quella di omega).
Ragionando in componenti rispetto ad una terna cartesiana a caso, e con le seguenti notazioni per i vettori: , ,
si ottiene


Per le altre componenti è lo stesso a meno di ciclare qualche pedice, e la relazione si scrive bene in forma matriciale:
dove I è una matrice che risulta simmetrica.
Un teorema di algebra lineare dice che per matrici simmetriche come questa c'è un sistema di coordinate cartesiane ortogonali rispetto al quale la matrice si scrive in forma diagonale, cioé in modo che si abbia . Questi sono detti "assi principali" del corpo. Se Ix, Iy e Iz sono diversi si ha che L è parallelo a omega solo se questa è diretta lungo uno degli assi principali. E questo è il caso di tutti i problemi che incontrate in ambito olimpico.

Ippo ha scritto:(noi in facoltà l'abbiamo giusto accennato durante un'esercitazione, e al secondo anno non so se è un argomento ripreso a meccanica analitica, bisognerebbe chiedere a Pig... il fatto che uno rischi di laurearsi in fisica credendo che sia un multiplo scalare di è abbastanza triste comunque )

[Off topic] Mah, in realtà io credevo che in facoltà questa cosa la facessero per bene. Io quando sono andato a fare l'esame di Fisica 2 non sapevo cosa era il tensore d'inerzia perchè Fisica 2 l'ho anticipato in modo molto sportivo (cioè studiando sì e no un giorno...), ma che non c'erano buoni motivi perchè w ed L fossero sempre paralleli lo sapevo. Comunque poi per il corso interno queste cose bisogna studiarle un pochino più dignitosamente. [/Off topic]

[off topic] Noi infatti l'abbiamo fatto per benino al corso interno. Fisica lo seguiamo perché col nuovo ordinamento non si può anticipare, e Cella ha menzionato gli assi principali ma mai il tensore d'inerzia...[/off topic]

Ippo ha scritto:il fatto che uno rischi di laurearsi in fisica credendo che sia un multiplo scalare di è abbastanza triste comunque )

Già, noi per fortuna ne abbiamo un po' parlato e abbiamo fatto un problema praticamente identico a questo, accennando ai tensori di inerzia. Però anche a me sembrerebbe una cosa piuttosto importante da farla benino a Fisica I, senza dover aspettare Meccanica Analitica...