sns 2012 n.1

[Gabry]

E' ovvio che l'effetto joule indica proprio l'energia che si trasforma in calore, obbiettavo il fatto che anche mentre la sfera si avvicina è presente un effetto joule sul satellite (le carichè si spostano per mantenere le superfici equipotenziali infatti sia le cariche immagine sia la distanza dal centro dipendono dalla distanza della sfera dal satellite) però hai semplicemente considerato l'energia potenziale elettrica (e va bene), mentre nell'ultima parte hai considerato direttamente l'effetto joule (e va bene considerarlo ma bisogna considerarlo correttamente) inoltre mi pare non ci sia il contributo dell'energia cinetica che viene dispersa con l'urto (bisognerebbe infatti considerare l'energia totale dopo l'urto per tener contro anche di questa). Secondo me ti stai bloccando sulla posizione che la carica sulla superficie del satellite si annulla con quella della sfera, come ti ho fatto notare non è così che avviene (se la sfera fosse più grande non tutta la carica passerebbe sul satellite, va bene l'approssimazione che con la sfera piccola la carica si trovi alla fine tutta sul satellite ma non possiamo cambiare i modi con cui la carica si sposta) e quindi parte della carica sulla superficie del satellite si annulla con quella della parte opposta della superficie, morale della favola: si hanno dei moti di carica all'interno dello stesso satellite che alla fine portano ad uno spostamento della carica dalla sfera al satellite ma gli spostamenti della carica non sono facilmente delineabili e a mio parere non sono utili al fine di trovare elementi utili per calcolare l'effetto joule (infatti la carica si sposta rimanendo sulla superficie delle sfera, ma in questo modo la sezione del conduttore ideale lungo il quale scorre la carica sarebbe infinitesima!)

[Bolzo88]

Visto che sta venendo fuori una bella discussione sul problema ho provato a farlo. E' veramente bello!

Per ora non posto la mia soluzione ma mi limito a fare qualche commento e a dare qualche indicazione.

1) Avete assunto che l'energia dissipata nell'urto anelastico vada in calore e non in altri tipi di energia legati alla deformazione dei corpi. Avrebbe dovuto essere specificato nel testo, ma direi anch'io di fare questa assunzione e sicuramente sarà fatta anche nelle soluzioni ufficiali (senza il problema è straimpossibile).

2) Mi piacciono molto le obiezioni di Gabry sulle approssimazioni: se nel calcolo delle energie approssimiamo la distanza all'ordine zero in ponendola uguale a , allora approssimeremo all'ordine zero in l'energia elettrostatica iniziale, assumendo che all'istante iniziale le cariche indotte sulla sfera grande siano trascurabili. Questo perchè, con i dati che abbiamo, non abbiamo modo di sapere quale dei due effetti è più importante e quindi quale sarebbe l'approssimazione più grossa tra le due: o le facciamo entrambe all'ordine zero o non approssimiamo.
In altre parole, come diceva Gabry, per decidere di tenere una delle due approssimazioni dovremmo sapere se è molto maggiore, molto minore o paragonabile a .

3) Nota: se non mi sbaglio di grosso, le cariche immagine NON sono nel programma dell'ammissione alla normale nè nel sillabo delle olimpiadi. Secondo me in questo problema non servono, comunque non ho niente in contrario a usarle a patto di aver capito come si usano. Lo dico specialmente se pensate di usarle in una gara o in un test di ammissione: come vale in generale per gli strumenti avanzati, se li usi senza averli capiti e per questo sbagli vieni giustamente punito al momento della correzione.

Per Gabry: tutte le tue obiezioni sulle cariche immagine mi sembra vengano dal fatto che non hai capito bene di cosa si tratta. Quando hai un conduttore e delle cariche fuori dal conduttore stesso, vengono indotte delle cariche sulla superficie del conduttore, mentre all'interno non rimane mai nessuna carica. Le cariche che vengono indotte sulla superficie fanno all'esterno del conduttore un campo elettrico uguale a quello che ci sarebbe se, invece della carica superficiale, ci fossero le cosiddette cariche immagine all'interno del conduttore. Se vuoi chiedere maggiori chiarimenti ti risponderò, magari apriamo un topic apposito nella sezione di teoria del forum.

4) Ho visto che modesto ha postato una soluzione. Ho alcune obiezioni da fare, adesso scrivo un post sul punto 1, poi direi che passeremo ai successivi una volta che l'abbiamo sistemato.

[Bolzo88]

Siccome, assumendo l'origine della ascisse nel loro baricentro risulta che l'ascissa del centro di è una frazione trascurabile di così come la velocità e l'accelerazione del satellite sono trascurabili rispetto a quelle della sfera tanto da poter considerare il satellite fermo.
1ma risposta: la carica q, supposta positiva, induce sulla superficie semisferica satellitare prossima la carica di segno opposto e sulla superficie semisferica lontana . q viene chiaramente più attratta che respinta da queste due cariche (forza attrattiva fra satellite e sferetta). Secondo la teoria delle immagini, per rendere equipotenziale la superficie del satellite, tutto va come se fossero puntiformi e dislocate sulla congiungente i due centri, nel centro del satellite quella positiva e a distanza dal centro quella negativa: valgono e costituiscono una specie di dipolo elettrico nel cui campo è la sfera carica .

Tutto ok sulle cariche immagine. Attento: le cariche superficiali non sono divise esattamente tra superficie semisferica vicina e superficie semisferica lontana. In particolare direi che quella negativa occupa meno di una superficie semisferica e quella positiva più di una superficie semisferica. In ogni caso mi sembra che questa considerazione sia ininfluente per la soluzione del problema, quindi possiamo andare avanti tranquilli.

1. A distanza la forza di attrazione esercitata su q dalle immagini risulta allora
con . Riducendo allo stesso denominatore ed imponendo la condizione si può porre
e quindi l'energia potenziale
Per d=R+r, a distanza infinitesima dall'urto e dal contatto, abbiamo invece con , dato che .
Pertanto nel passaggio da ad la carica q perde energia potenziale che si trasforma in energia cinetica e, dopo l'urto anelastico, in calore Q. E' allora
dove j è l'equivalente meccanico della caloria.

Non sono d'accordo su : lo trovi integrando la forza da R a , ma la forza non va come fino a ...

Inoltre, per le considerazioni di Gabry sulle approssimazioni, approssimerei a .

Inoltre con l'urto si annulla con la carica indotta sulla superficie semisferica satellitare con cui viene a contatto e pertanto sulla superficie satellitare e della sferetta attaccata rimane la carica che era stata indotta sull'altra semisfera. La conclusione è che passa dalla superficie sferica di raggio a quella di raggio - fra cui c'è la ddp . Tutto va come se avessimo un conduttore sferico, compreso fra quelle sfere supposte concentriche, a resistività e q andasse da una superficie all'altra. Viene dissipata la quantità di calore dove è la resistenza elettrica di questo conduttore-satellite. Considerando due superfici sferiche di raggio ed comprese fra quelle di raggio ed , la resistenza infinitesima del tratto è . Integrando fra ed si ottiene
A conti fatti, con R>>r, risulta che va aggiunta a Q.

Alcune domande/obiezioni:

1) Perchè va aggiunta a ? Stai usando la conservazione dell'energia, puoi spiegare bene come?

2) Perchè puoi fare l'analogia con il condensatore sferico? Nel tuo condensatore la carica attraversa il volume tra le due sferette, nel nostro problema mi pare che stia sempre sulla superficie: perchè le due situazioni dovrebbero essere analoghe?

3) Mi pare che stai assumendo che nel condensatore la ddp rimane la stessa durante tutto il trasferimento di carica: ti sembra avere senso questa assunzione?

Edit: forse sul punto (3) ho capito male io, per adesso evito di approfondire perchè ho sonno

[Gabry]

Per Gabry: tutte le tue obiezioni sulle cariche immagine mi sembra vengano dal fatto che non hai capito bene di cosa si tratta. Quando hai un conduttore e delle cariche fuori dal conduttore stesso, vengono indotte delle cariche sulla superficie del conduttore, mentre all'interno non rimane mai nessuna carica. Le cariche che vengono indotte sulla superficie fanno all'esterno del conduttore un campo elettrico uguale a quello che ci sarebbe se, invece della carica superficiale, ci fossero le cosiddette cariche immagine all'interno del conduttore. Se vuoi chiedere maggiori chiarimenti ti risponderò, magari apriamo un topic apposito nella sezione di teoria del forum.

So bene che le cariche immagine sono solo uno strumento che permettono di ridurre una complessa distribuzione di carica sulla superficie con quella generata da uno (o poche) cariche puntiformi, la cosa che non capisco è: quando ho fatto obiezioni sulle cariche immagine?
Scherzi a parte mi sono semplicemente limitato a contestare la distribuzione di carica dopo il contatto (mi pare di aver capito che condividi la mia opinione) e il metodo con cui viene calcolata l'energia che penso si possa calcolare in un unico step considerando semplicemente energia finale e iniziale senza considerare direttamente l'effetto joule (ma considerando ovviamente i suoi effetti per qunto riguarda la dispersione del calore) dato che le cariche si muovono sulla superficie in un modo abbastanza complesso. Ho la sensazione che per risolvere questo problema ci sia qualche "trucco" che lo renda molto meno complesso (considerando i singoli effetti o la diretta distribuzione di carica) di quanto sembra, ma purtroppo non mi viene in mente nulla di significativo al momento

[Bolzo88]

Scherzi a parte mi sono semplicemente limitato a contestare la distribuzione di carica dopo il contatto (mi pare di aver capito che condividi la mia opinione) e il metodo con cui viene calcolata l'energia che penso si possa calcolare in un unico step considerando semplicemente energia finale e iniziale senza considerare direttamente l'effetto joule (ma considerando ovviamente i suoi effetti per qunto riguarda la dispersione del calore) dato che le cariche si muovono sulla superficie in un modo abbastanza complesso. Ho la sensazione che per risolvere questo problema ci sia qualche "trucco" che lo renda molto meno complesso (considerando i singoli effetti o la diretta distribuzione di carica) di quanto sembra, ma purtroppo non mi viene in mente nulla di significativo al momento

Niente trucchi! Traduci in formule la parte evidenziata...

[Gabry]

Per l'energia iniziale non dovrebbero esserci problemi, con il metodo delle cariche immagini basta semplicemente considerare l'energia elettrostatica di tre cariche puntiformi (quella sulla sfera e le due cariche immagine), il problema è l'energia dopo l'urto: quando la sfera e il satellite sono a contatto non so come distribuire le cariche (e non so se sia possibile farlo solo con delle cariche puntiformi) per far risultare la superficie della sfera e del satellite equipotenziali dato che la distribuzione carica su un corpo disturba quella sull'altro (altrimenti sarebbe una distribuzione omogenea proporzionale alla capacità dei due corpi).

[Bolzo88]

Per l'energia iniziale non dovrebbero esserci problemi, con il metodo delle cariche immagini basta semplicemente considerare l'energia elettrostatica di tre cariche puntiformi (quella sulla sfera e le due cariche immagine), il problema è l'energia dopo l'urto: quando la sfera e il satellite sono a contatto non so come distribuire le cariche (e non so se sia possibile farlo solo con delle cariche puntiformi) per far risultare la superficie della sfera e del satellite equipotenziali dato che la distribuzione carica su un corpo disturba quella sull'altro (altrimenti sarebbe una distribuzione omogenea proporzionale alla capacità dei due corpi).

Attento! Le cariche immagine, come abbiamo detto, sono un metodo comodo per determinare il campo elettrico fuori da un conduttore. Vale che il campo elettrico che c'è all'esterno del conduttore è lo stesso che ci sarebbe se ci fossero le cariche immagine.
Questo, però, vale per il campo elettrico, non per l'energia elettrostatica. L'energia elettrostatica va calcolata con la distribuzione vera delle cariche ed è il lavoro che dovresti fare per generare la tua distribuzione di carica partendo da una situazione con tutte le cariche all'infinito. Se la calcoli con le cariche immagine viene diversa da quella vera!

[Gabry]

La distribuzione vera delle cariche è una distribuzione di carica con una certa densità superficiale di carica che varia lungo la superficie per mantenerla equipotenziale, come faccio a calcolarla? Devo forse calcolarla considerando l'energia del campo elettrostatico?

[Bolzo88]

La distribuzione vera delle cariche è una distribuzione di carica con una certa densità superficiale di carica che varia lungo la superficie per mantenerla equipotenziale, come faccio a calcolarla?

Beh, calcolarla esattamente è difficilissimo...

[modesto]

Siccome per motivi personali non ho visitato il forum e con Gabry comunque mi ero chiarito (ovviamente ciascuno può mantenere il suo punto di vista), sento invece di dover rispondere a B.

Non sono d'accordo su : lo trovi integrando la forza da R a , ma la forza non va come fino a ...
Inoltre, per le considerazioni di Gabry sulle approssimazioni, approssimerei a

.
No, non lo trovo integrando. Ad R, o meglio a distanza infinitesima da R, le immagini sono entrambe q in valore assoluto e quindi calcolo il potenziale da loro generato nel centro della sferetta secondo l'ordinaria formula delle cariche puntiformi.
Se poi nei calcoli successivi si pone U =0 in d sono d'accordo che la differenza è trascurabile.

Inoltre con l'urto si annulla con la carica indotta sulla superficie semisferica satellitare con cui viene a contatto e pertanto sulla superficie satellitare e della sferetta attaccata rimane la carica che era stata indotta sull'altra semisfera. La conclusione è che passa dalla superficie sferica di raggio a quella di raggio - fra cui c'è la ddp . Tutto va come se avessimo un conduttore sferico, compreso fra quelle sfere supposte concentriche, a resistività e q andasse da una superficie all'altra. Viene dissipata la quantità di calore dove è la resistenza elettrica di questo conduttore-satellite. Considerando due superfici sferiche di raggio ed comprese fra quelle di raggio ed , la resistenza infinitesima del tratto è . Integrando fra ed si ottiene
A conti fatti, con R>>r, risulta che va aggiunta a Q.

Alcune domande/obiezioni:

1) Perchè va aggiunta a ? Stai usando la conservazione dell'energia, puoi spiegare bene come?

2) Perchè puoi fare l'analogia con il condensatore sferico? Nel tuo condensatore la carica attraversa il volume tra le due sferette, nel nostro problema mi pare che stia sempre sulla superficie: perchè le due situazioni dovrebbero essere analoghe?

3) Mi pare che stai assumendo che nel condensatore la ddp rimane la stessa durante tutto il trasferimento di carica: ti sembra avere senso questa assunzione?

Edit: forse sul punto (3) ho capito male io, per adesso evito di approfondire perchè ho sonno

1) Il testo chiede, non a caso, l'energia dissipata nel "processo": quindi all'energia cinetica dissipata come in ogni urto anelastico va aggiunta quella dissipata per effetto Joule.

2) Anche qui non hai letto bene: ho scritto CONDUTTORE sferico e non condensatore. Non c'è dielettrico fra le sfere: c'è un conduttore di data resistività come dice il testo e pertanto mi pare che la tua obiezione nasca da un fraintendimento.

3)Nel ribadire che non è un condensatore, la ddp è quella esistente fra le due sfere quando la carica q passa dalla piccola(kq/r) alla grande(kq/R).