Visto che sono passate due settimane dall'inizio e non ho visto grandi soluzioni, vi voglio far vedere almeno un modo di farlo.
Usiamo un metodo straightforward: la forza è l'integrale del campo elettrico sulle cariche. Cioè:
 \rho (\vec r) dV})
Chi non sa cosa sono gli integrali, può immaginare che questa sia una somma sui tanti elettroni liberi che danno la carica totale alla sfera. Però non so se riuscite a seguire il seguito, temo di no.
Chiamo
il campo prodotto da tutta la sfera,
quello prodotto dalla metà di sopra,
quello prodotto dalla metà di sotto.
Prima cosa da notare: il testo ci chiede la forza che la metà di sotto esercita sulla metà di sopra. Quindi dovremmo calcolare solo il campo elettrico
dovuto alla semisfera di sotto, e questo richiede un calcolo terrificante.
Tuttavia, possiamo ragionare un po' e notare che invece che quel campo, possiamo usare il campo prodotto da tutta la sfera. Questo perchè
la forza totale che la semisfera superiore esercita su se stessa è zero. Quindi se aggiungiamo il campo
facciamo un integrale diverso, ma poi il risultato finale è lo stesso, perchè abbiamo aggiunto una forza che complessivamente è nulla. Quindi possiamo fare il conto direttamente con
che è la somma dei due campi, e troveremo il risultato giusto.
Per inciso, vi faccio notare che le considerazioni scritte qua sopra si devono fare; se usate direttamente
facendo finta di niente (o dicendo qualcosa di poco chiaro sul fatto che il sistema è equivalente ad una carica messa da qualche parte), non state scrivendo una buona soluzione.
Quindi, dobbiamo calcolare
 dV})
sulla metà di sopra. Intanto scriviamo il campo. A distanza
dal centro è:
Mentre a distanza minore di R è nullo. E questo è un problema, perchè noi vogliamo usarlo sulla superficie sferica, e quindi proprio a distanza
; non sappiamo il campo in quel punto esatto, ed ovviamente c'è qualcosa da sistemare, perchè il campo che abbiamo scritto prima sembra discontinuo in quel punto. Per aggirare questo ostacolo bisogna ingegnarsi un po' oppure aver già visto dei problemi simili a questo (ed ovviamente si spera di essere nel secondo caso, ma per alcuni di voi è ragionevole che ancora non sia così).
C'è un simpatico risultato che ci si ricorda in questi casi: se subito dentro la sfera ho campo nullo e fuori ho campo
, è come se agisse sulla sfera un campo effettivo
. Ci sono diversi modi più o meno furbi per dimostrarlo; ve ne faccio vedere uno diretto e un po' noioso. Mi sembra ce ne sia uno più astuto che vi lascio cercare da soli.
Suppongo simmetria sferica e tutto quello che vale nel nostro problema. Uso la legge di Gauss nella forma
; lo so che non la usate in genere in questa forma, ma dovreste riuscire a ricavare questa espressione facilmente.
Consideriamo un piccolo elemento di superficie
e vogliamo la forza che lo spinge verso il fuori. La carica non sarà realmente su una superficie ma avrà una piccola estensione spaziale; facciamo quindi un integrale di volume (lo avevo scritto anche sopra) invece che di superficie. Immaginiamo che il raggio vari da
a
. Allora:
 \rho(r) \Delta A dr} = \epsilon_0 \Delta A \int_{R - \delta R}^R{E(r) \frac{dE(r)}{dr} dr} =)
)}{dr} dr} = \frac{1}{2} \epsilon_0 \Delta A (E^2(R) - E^2(R - \delta R)))
Mettiamo
 = 0)
e di nuovo per la legge di Gauss ci accorgiamo che la carica dell'elemento di superficie è
 \Delta A \epsilon_0)
. Allora:
)
Che è quello che volevo dimostrare.
Adesso si può finalmente fare quello che avete detto molte volte, ovvero scriviamo la forza su un elemento di superficie, consideriamo solo il termine lungo
(versore che parte dal centro e passa dal vertice della semisfera superiore), e integriamo. Dividendo la semisfera in strisce orizzontali e sperando di non aver sbagliato i conti mi viene
, che mi sembra diverso da tutti i vostri risultati.
Una variante del problema, che non coinvolge la difficoltà del campo elettrico da usare alla superficie, riguarda una sfera con carica uniforme anche all'interno.
Capisco che questa soluzione possa non sembrare "elementare con pochi conti" alla maggior parte di voi, ma c'erano un po' di trucchetti da aver visto; una volta che uno li sa, il problema è molto facile, ma quando li deve ancora vedere ci vuole un po' di inventiva per tirarli fuori.
frafratte ha scritto: A questo punto quando le due semisfere sono a contatto le cariche che sono all'interno si respingono e si posizionano ai poli della propria semisfera
Non hai capito il problema; "immaginando la sfera suddivisa in due" non vuol dire "tagliamo a metà la sfera".
Inoltre, nel problema che hai provato a risolvere tu, le cariche non si posizionerebbero tutte ai poli delle due semisfere, ma resterebbero esattamente ferme come nel caso della sfera unica. Tra due conduttori a contatto ed un unico grande conduttore non c'è differenza.
Incomplete93 ha scritto:Concludo dicendo che ho già letto il problema da qualche parte ma che ancora non ho capito come affrontarlo in modo semplice. Una soluzione del problama b. sarebbe il metodo della carica immagine, che ovviamente non so usare XD Per cui chiedo a Pigkappa un suggerimento vago che non risolva il problema ma mi illumini sul modo di procedere!
Grazie =)
Non sono fresco di elettromagnetismo, anzi, mi sono scordato un po' tutto (e la pagherò cara prima o poi
). Comunque, da quello che ricordo sulle cariche immagine, non vedo come le si potrebbe usare per questo problema. Costruire la carica immagine nel caso di una semisfera deve essere una cosa piuttosto antipatica; viene bene nel caso di piani conduttori, abbastanza bene per sfere conduttrici, e male per quasi tutto il resto...
E
.