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Tentativo. Ricapitolando $v(T)= (2F_0 T^2)/(m\delta t) 0<T<\delta t /2$ $v(T)= \frac{F_0 [-(\delta t)^2+4(\delta t) T-2T^2}{m\delta t} (\delta t /2)<T<\delta t$ si ottiene anche $v(\delta t/2) = \frac{F_0 \delta t}{2m}$ e $v(\delta t)=F_0\delta t/m$ Ora per determinare $x(\delta t)=\int_0^T v(T)dt$ io prima ho integrato fra $0,\delta t/2$ e poi fra $\delta t/2 , \delta t$ ed ho ottenuto $x(\delta t/2) = \frac{F_0 (\delta t)^2}{12 m}$ e $x(\delta t)=\frac{F_0 (\delta t)^2}{3m}$ . Mi fermo perchè non viene in $F_0^2$

Dove sto sbagliando? procedimento e/o conti?

bosone ha scritto: ↑
12 dic 2022, 12:57
Mi fermo perchè non viene in $F_0^2$

Non deve venire in $F_0^2$ ... Hai visto gia' che nel caso di forza costante viene $\frac{1}{2} \frac{F_0}{m} (\delta t)^2$ , e' moto uniformemente accelerato, proporzionale a $F_0$ .

Il fatto che ti venga quel coefficiente $\frac{1}{3}$ invece di $\frac{1}{2}$ indica che i conti sono sbagliati.

Lasciami mettere $\delta t = 1$ , $m = 1$ , $F_0 = 1$ nelle formule, tanto per analisi dimensionale si capisce quando dobbiamo riaggiungere questi termini.
$\displaystyle v(T) = 2T^2$ se $\displaystyle 0 \le T \le \frac{1}{2}$
Quindi $\displaystyle x(T) = \frac{2}{3}T^3$ se $\displaystyle 0 \le T \le \frac{1}{2}$ ; quindi $\displaystyle x(\frac{1}{2}) = \frac{1}{12}$ .
$\displaystyle v(T) = -1 + 4T - 2 T^2$ se $\displaystyle \frac{1}{2} \le T \le 1$
Fin qui i risultati erano uguali ai tuoi. Il conto qua sotto non lo hai esplicitato:
$\displaystyle x(T) = x(\frac{1}{2}) + \int_{1/2}^T v(t) dt$
L'integrale indefinito e': $\displaystyle I(T) = \int{-1 + 4T - 2 T^2} = -T + 2 T^2 -\frac{2}{3} T^3 \Rightarrow I(1/2) = -\frac{1}{12}$ .
Quindi $\displaystyle x(T) = \frac{1}{12} + (-T + 2 T^2 -\frac{2}{3} T^3) - (- \frac{1}{12}) = \frac{1}{6} - T + 2 T^2 - \frac{2}{3} T^3$
E sostituendo $\displaystyle x(1) = \frac{1}{2}$ e rimettendoci le variabili per farlo tornare dimensionalmente, $\displaystyle x(1) = \frac{1}{2} \frac{F_0 (\delta t)^2}{m}$ .

Questo conto e' stato bruttino, se uno avesse scelto $F(t)$ strategicamente poteva semplificarlo. Il primo esempio che avevo provato io era $F(t) = \frac{\pi}{2} F_0 \sin(\frac{\pi t}{\delta t})$ dove ho scelto il coefficiente davanti per far venire la media uguale a $F_0$ , e il coefficiente dentro la funzione seno per assicurarmi di essere arrivato a $\theta = \pi$ quando $t = \delta t$ .

In questo caso la velocita':
$\displaystyle v(T) = \frac{\pi F_0}{2m}\int_0^T \sin{\frac{\pi t}{\delta t}} dt = \frac{F_0 \delta t}{2m}(1 - \cos{\frac{\pi T}{\delta t}})$
La posizione:
$\displaystyle x(T) = \frac{F_0 \delta t}{2m} \int_0^T (1 - \cos{\frac{\pi T}{\delta t}}) dT = \frac{F_0 \delta t}{2m} (T - \frac{\delta t}{\pi} \sin{\frac{\pi T}{\delta t}})$
E sostituendo $T = \delta t$ si trovano gli stessi risultati del punto 1.

Se ti tornano i conti, ora hai altre 2 funzioni che danno lo stesso risultato del punto 1, e il punto 4 e' di dimostrare che abbiamo perso tempo a fare questi integrali e tutte le funzioni danno lo stesso risultato... (Quando mi sono inventato questo problema all'inizio non lo sapevo che questa cosa fosse vera, ma dopo 4 funzioni che mi davano lo stesso risultato mi sono deciso di dimostrarlo...)

Si hai ragione ho sbagliato un segno. Memtre $x(\delta t /2) = (1/12m)F_0(\delta t)^2$ nell'integrale successivo fra $\delta t/2$ e $\delta t$ ho sbagliato un segno. Viene ancora 1/12 che addizionato al precedente fa 1/6 (io lo ho sottratto invece!)cui bisogna aggiungere 1/3 per un totale di 1/2 come al punto 1.! Appena ho tempo lo posto

Data l'espressione di v(T) nel mio post del 12/12 si viene ad avere
$x(\delta t)=\int_0^T \frac{2F_0 T^2}{m\delta t}dt+\int_{\delta t/2}^T \frac{F_0 (-\delta t^2+4\delta t T-2T^2)}{m \delta t}= \frac{2F_0 T^3}{3m\delta t}+ \frac{F_0 (-\delta t^2 T+2\delta t T^2-2/3 T^3)}{m \delta t}+\frac{F_0 \delta t^3}{12m\delta t}$ Sostituendo a T il $\delta t$ si ottiene $\frac{F_0 \delta t^2}{12 m} + \frac{F_0 \delta t^2}{3m}+\frac{F_0\delta t^2}{12 m}= \frac{F_0 \delta t^2}{2m}$ in perfetto accordo con 1. Infine , avendo dimostrato che $<F(t)>= F_0$ credo che si possa affermare $W(\delta t)= F_0 x(\delta t)= \frac{F_0^2 \delta t^2}{2m}$ sempre in accordo con 1.

Ok su velocità e spostamento.

Non sono convinto si possa usare la forza media (=media nel tempo) nell'integrazione per il lavoro (=integrazione nello spazio)... Forse sì ma andrebbe dimostrato.
Comunque il lavoro fatto sarà uguale all'energia cinetica acquisita quindi non servono altri conti.

Ora l'ultimo punto che è il più interessante

4. Tentativo di dimostrazione proposto
Nel caso generale di una funzione con caratterstiche 2. sia $F_1(t), F'_1(t)>0 ; 0< t<\delta t/2$ e $F_2(t), F'_2(t) <0 ; \delta t/2<t<\delta t$ . Viene dato che $<F_1> = <F_2>=F_0$ . Risulta poi che $F_1(t)= \int_0^t F'_1 dt ; F_2(t) =\int_0^t F'_2 (t) dt= - \int_{\delta t/2}^t F'_1(t) dt= 2F_0-F_1(t) ; 0<t<\delta t/2$ .
Dalla legge di Newton si può impostare $v(T) = \int_0^T\frac{F_1(t) dt}{m} + \int_{\delta t/2}^T \frac{[2F_0-F_1(t)]dt}{m}= \int_0^T\frac{F_1(t) dt}{m}+\frac{2F_0 T}{m}-\frac{F_0 \delta t}{m}-\frac{\int_{\delta t/2}^TF_1(t) dt}{m}$ . Indichiamo ora con $P_1(t)$ una primitiva di $F_1(t)$ . Risulta allora
$v(T) = \frac{P_1(T) - P_1(0)}{m}+\frac{2F_0 T}{m} - \frac {F_0 \delta t}{m} - \frac{P_1(T) + P_1(\delta t /2)}{m}= \frac{P_1(\delta t/2)-P_1(0) +2F_0 T-F_0 \delta t}{m}$
Come sappiamo il valor medio di $F_1(t)$ nell'intervallo $0,\delta t/2$ è $(2/\delta t)\int _0 ^{\delta t/2} F_1(t)dt =F_0$ cioè $P_1(\delta t /2) - P_1(0) = F_0 \delta t /2$ per cui risulta in definitiva $v(T) = \frac {F_0 \delta t/2+2F_0 T-F_0\delta t}{m}$ e quindi $v(\delta t/2) = \frac{F_0 \delta t}{2m}$ proprio come al punto 1.
A questo punto mi sembra superfluo ribadire il post precedente con $x(\delta t); W(\delta t)$ che risulterebbero anch'essi come nel punto 1.

Ho faticato un po' a seguire, mi sembra che la tua $F_2(t)$ sia definita solo se $\delta t/2 < t < \delta t$ ma sia usata anche al di fuori di questo intervallo, e non sono ancora convinto le cose tornino.

Se non sbaglio, fai il claim che se $0 < T < \delta t /2$ , vale $v(T) = \frac{F_0 \cdot (2T - \delta t/2)}{m}$ . Ma questo non è vero in generale, la velocità non aumenterà linearmente con il tempo, questo dipenderà dalla forma specifica di $F(T)$ ... La velocità potrebbe avere una forma a scalino, ad esempio, ed aumentare solo un attimo prima di $\delta t / 2$ .

Se trovi un modo convienente di scrivere la velocità così, devi ancora convincermi che anche $x(\delta t)$ viene di conseguenza. Nella mia soluzione $v(\delta t)$ viene facilmente, ma $x(\delta t)$ era la parte difficile.

4. Ribadisco intanto la funzione forza proposta con caratterstiche 2 correggendo un errore sul secondo intervallo che hai rilevato. E' $F_1(t), F'_1(t)>0 ; 0< t<\delta t/2$ e $F_2(t), F'_2(t) <0 ; \delta t/2<t<\delta t$ . Dato che $<F_1> = <F_2>=F_0$ , risulta poi $F_1(t)= \int_0^t F'_1 dt ; F_2(t) =\int_0^t F'_2 (t) dt= - \int_{\delta t/2}^t F'_1(t) dt= 2F_0-F_1(t) ; \delta t /2<t<\delta t$ .
Ora vorrei cercare di chiarire se mi riesce perchè non capisco alcune obiezioni. Dalla legge di Newton $\frac{dv}{dt}\sim F_1(t) >0 ; \frac {dv}{dt}\sim F_2(t)>0$ nei due intervalli. Questo mi pare voglia dire che anche dv è proporzionale a F(t)>0. Per cui non capisco gli scaloni che implicano prima dei medesimi dv=0 e quindi il non soddisfacimento di 2. che prevede una funzione crescente o decrescente. Ciò precisato ho allora impostato
$v(T) = \int_0^T\frac{F_1(t) dt}{m} + \int_{\delta t/2}^T \frac{[2F_0-F_1(t)]dt}{m}$ che risulta alla fine
$v(T)= \frac{F_0 \delta t/2 + 2F_0 T-F_0\delta t}{m}$ da cui avevo dedotto $v(\delta t/2)=\frac{F_0 \delta t}{2m}$ e $v(\delta t)=\frac {3F_0 \delta t}{2m}$ .Tornano come al punto 1. corretto: infatti in un post precedente per calcolare $v(\delta t)$ non avevo aggiunto $v(\delta t /2)$ Se puoi accettare queste precisazioni poi affronterò lo spostamento e il lavoro

bosone ha scritto: ↑
22 dic 2022, 12:36
Ciò precisato ho allora impostato
$v(T) = \int_0^T\frac{F_1(t) dt}{m} + \int_{\delta t/2}^T \frac{[2F_0-F_1(t)]dt}{m}$

Io questa cosa non la capisco troppo... Sicuramente vale $v(T) = \int_0^T\frac{F(t) dt}{m}$ per ogni $T$ ; e se $T < \delta t / 2$ la stessa formula vale anche sostituendo $F$ con $F_1$ . Ma in questo caso $F_2$ non compare affatto perché $F_2$ è solo definita per $T > \delta t / 2$ . Inoltre in questo caso gli intervalli di integrazione del tuo secondo integrale sono invertiti, ovvero quello di sotto è maggiore di quello di sopra, che si può anche fare ma confonde un po' le cose.

bosone ha scritto: ↑
22 dic 2022, 12:36
$v(\delta t)=\frac {3F_0 \delta t}{2m}$

Ma il risultato giusto ci era venuto $v(\delta t)=\frac {F_0 \delta t}{m}$ ...

bosone ha scritto: ↑
22 dic 2022, 12:36
$v(T)= \frac{F_0 \delta t/2 + 2F_0 T-F_0\delta t}{m}$

Guarda questa formula. Se ho capito bene, questa sarebbe $v(T)$ per qualsiasi $T$ , e non dipende dalla forma specifica di $F(t)$ in nessun punto dell'intervallo. Ti sembra corretta questa cosa? Puoi dare l'impulso più bruscamente (concentrato vicino a $\delta t$ ) o meno bruscamente (uniforme, o quasi, nell'intervallo) e la velocità dovrà ben dipendere da come lo dai.

Per dirti in che direzione andrei io... La velocità finale è $v(\delta t) = \frac{1}{m} \int_0^{\delta t} F(t)\; dt$ , questo integrale si può fare subito.

Poi la condizione di simmetria è più o meno come la hai scritta tu tramite la tua formula $F_2(t) + F_1(t) = 2 F_0$ , anche se questa un po' mi confonde perchè $F_2$ e $F_1$ non sono definite per gli stessi valori di $t$ . Io la scriverei $F(t) + F(\delta t - t) = 2F_0$ oppure, equivalentemente, $F(\delta t / 2 + t) + F(\delta t/2 - t) = 2F_0$ . Per calcolare lo spostamento finale bisogna calcolare $x(\delta t) = \int_0^{\delta t} v(t)\; dt$ e quindi ci servirebbe una relazione che sfrutti la simmetria per la velocità, invece che per la forza...

1) Infatti il primo integrale di v(T) contiene $F_1(t)$ perchè siamo fra 0 e $\delta t/2$ mentre il secondo integrale va da $\delta t/2$ a $\delta t$ e quindi contiene $F_2(t)$ e T non è minore ma maggiore di $\delta t/2$

2) Come ho scritto in fondo al post $v(\delta t/2) =\frac {F_0 \delta t}{2m}$ ed è giusto ma secondo me $v(\delta t)$ viene a quel modo perchè all'integrale fra $\delta t/2 , \delta t$ che è uguale appunto a $\frac{F_0 \delta t}{m}$ deve essere aggiunto $v(\delta t/2)$
Rifletterò sulle tue ultime considerazioni. Io avevo già calcolato lo spostamento $x(\delta t)= \frac{F_0 \delta t^2}{2m}$ identico a 1. e $W(\delta t) = \frac{9F_0^2 \delta t^2}{8m}$

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