Dando allora per corretti i primi due punti e il ragionamento sul resto, comincio dal punto
3. Siano
e x le distanze dell'afelio e del perielio dal centro della nube per cui risulterà che il semiasse maggiore dell'ellisse percorsa sarà
/2 )
con l'origine degli assi di riferimento appunto a metà dell'asse maggiore dell'ellisse. Chiaramente si conservano sia il momento angolare fra afelio e perielio sia l'energia meccanica. Usando le relazioni di cui al precedente post saranno
=
 v_x^2)
dove
è la velocità al perielio,
\pi r_0^3 \rho_0)
la massa vista dall'afelio e
 \pi x^3 \rho_0)
la massa vista dal perielio. Facendo i conti complicati algebricamente, si può eliminare ad ambo i membri della risolvente la quantità
diversa da 0. Avrei ottenuto
se non ho sbagliato il conto. Il perielio, e quindi x, rappresenta il richiesto punto della traiettoria in cui la particella m è più vicina al centro della nube.
4. Si possono calcolare i semiassi dell'ellisse a,b e la distanza focale c. Risulta
/2= (1/2) r_0 [1+ \frac{\sqrt{2}\alpha}{2}])
r_0[1-\frac{\sqrt{2}\alpha}{4}])
r_0\sqrt{\frac{3\alpha (\alpha+4\sqrt{2})}{2}})
Per il teorema di Keplero con
al posto di
abbiamo
da cui si intuisce la conseguenza fondamentale: essendo
entrambi proporzionali a
il periodo risulterà indipendente da
, sarà uguale per tutte le particelle e quindi esisterà il periodo della nube. Mi risulta infatti
(1+\frac{\sqrt{2}\alpha}{2}).\sqrt{\frac{3\alpha(1+\frac {\sqrt{2}\alpha}{2})}{2G\rho_0})
5. Si è visto che il no-shell crossing implica l'esistenza di un periodo della nube. Viceversa se esiste il periodo della nube deve accadere che non ci possono essere attraversamenti: l'ellisse percorsa per
deve rimanere sempre esterna all'altra senza attraversarla cioè
>r'(t))
negli istanti successivi. Deve insomma verificarsi la consistenza del no-shell crossing.
6. Data una particella di massa m la sua velocità media
è notoriamente quella velocità costante con cui essa percorrerebbe lo stesso spazio (il perimetro dell'ellisse L) nello stesso tempo (il periodo T). Siccome il perimetro cresce con
anche la velocità media dovrà fare altrettanto. Infatti
dove una formula molto approssimata fornisce
}= \frac{\pi.r_0}{4} . \sqrt{7 \alpha^2+20\sqrt{2}\alpha+8})
(per a=b=r si avrebbe la lunghezza della circonferenza). Abbiamo in conclusione, fatti salvi i miei errori di calcolo
m.v_m^2= (1/2)m.\frac{L^2}{T^2}= \frac{m.\pi^2.r_0^2.\rho_0.G (7\alpha^2+20 \sqrt{2} \alpha+8)}{12. (1+\frac{\sqrt{2} \alpha}{2})^2})
.
Speriamo che abbia commesso solo errori di calcolo e non di procedimento
Sarebbe interessante anche il caso
= \frac{v_0^2}{4 \pi G r^2})
