Re: 12: la staffetta continua!
Inviato: 21 set 2014, 13:45
Questa soluzione nasce per essere soluzione dei punti 1 e 3 ed è stata adattata per il punto 2...quindi la soluzione del punto 2 fa un po' schifo...ma non importa
Sia)
la quantità di moto del razzo all'istante 
, )
la velocità, )
l'accelerazione, )
l'altezza dal suolo, )
la massa e )
la massa per unità di tempo che il razzo perde (cioè =-\dot m(t))
).
Sul razzo agisce solo la forza di gravità verso il basso, quindi
-p(t)=-m(t)gdt)
Ora,=m(t)v(t))
e =[m(t)-\lambda (t)dt]v(t+dt)+\lambda (t)dt[v(t)-u]=[m(t)-\lambda (t)dt][v(t)+\dot v(t)dt]+\lambda (t)dt[v(t)-u])
La relazione di prima è quindi
-\lambda (t)dt][v(t)+\dot v(t)dt]+\lambda (t)dt[v(t)-u]-m(t)v(t)=-m(t)gdt)
Facendo i prodotti e trascurando il termine di secondo ordine che esce, si arriva a
\dot v(t)dt=\lambda(t)udt-m(t)gdt)
e quindi =\dot v(t)=\dfrac{u\lambda (t)}{m(t)}-g)
A questo punto uno dovrebbe lasciare)
in funzione di 
oppure del mio 
, ma secondo me è meglio sostituire direttamente la relazione =m_0(1-\alpha t))
così si capisce subito che forma hanno i grafici delle tre funzioni.
Quindi=-\dot m(t)=m_0\alpha)
e =\dfrac{u\alpha m_0}{m_0(1-\alpha t)}-g)
Allora=\dfrac{u\alpha}{1-\alpha t}-g)
Integrando questa, poiché il razzo parte da fermo e da terra,=-u \ ln(1-\alpha t)-gt)
Integrando di nuovo=-u\left[\left(t-\dfrac{1}{\alpha}\right)ln(a-\alpha t)-t\right]-\dfrac{1}{2}gt^2)
L'ultima integrazione è un po' più brutta delle altre, ma non c'è nulla di difficile (si integra per parti e viene subito)
Il fatto che il razzo perde
della sua massa al secondo significa banalmente che 
inoltre sappiamo che
con 
la massa molare delle molecole di idrogeno e quindi a STP 
La velocità di fuga l'ho trovata ponendo in pratica l'energia totale del razzo uguale a zero, quindi^2=\dfrac{GM_T}{r_T+x(t)})
con 
massa e raggio terrestre.
Per risolvere questa avevo provato a scrivere l'espansione in serie del logaritmo...ma l'approssimazione che veniva fuori era troppo grande e avrei dovuto aggiungere termini di ordine superiore (e quindi il calcolo sarebbe diventato impossibile da fare a mano)
La soluzione che ho trovato è quindi non calcolarla a mano, ma l'ho data in pasto a wolfram alpha che mi ha restituito il valore del tempo corrispondente a quando il razzo raggiunge la velocità di fuga
Dopo aver sbagliato 3 volte a inserire lo stesso dato in wolfram, ho trovato
e qundi
(e quindi 
se interessa)
Per il punto 3 ho sostituito il valore di nella formula per e ho trovato \approx 170761 \ m)
valore alternativo: OrsoBruno96 ha scritto che le molecole sono a STP, ma molto probabilmente intendeva a SATP, cioè a temperatura ambiente, e in questo caso dovrebbe venire
, 
(mooolto diverso da quello precedente 
) e 
qualche(una) considerazione: forse ho sbagliato qualcosa (non i conti, quelli li ho controllati fin troppe volte
)...se invece non ho sbagliato, il rapporto tra le masse sembra essere davvero molto piccolo, perché il tempo a cui viene raggiunta la velocità di fuga è molto vicino al valore limite di 250...non che mi aspettassi cose tanto diverse visti i grafici di 
ma se fosse stato anche di un ordine di grandezza superiore sarei stato più tranquillo della correttezza della soluzione...
Sia
Sul razzo agisce solo la forza di gravità verso il basso, quindi
Ora,
La relazione di prima è quindi
Facendo i prodotti e trascurando il termine di secondo ordine che esce, si arriva a
A questo punto uno dovrebbe lasciare
Quindi
Allora
Integrando questa, poiché il razzo parte da fermo e da terra,
Integrando di nuovo
L'ultima integrazione è un po' più brutta delle altre, ma non c'è nulla di difficile (si integra per parti e viene subito)
Il fatto che il razzo perde
inoltre sappiamo che
La velocità di fuga l'ho trovata ponendo in pratica l'energia totale del razzo uguale a zero, quindi
Per risolvere questa avevo provato a scrivere l'espansione in serie del logaritmo...ma l'approssimazione che veniva fuori era troppo grande e avrei dovuto aggiungere termini di ordine superiore (e quindi il calcolo sarebbe diventato impossibile da fare a mano)
La soluzione che ho trovato è quindi non calcolarla a mano, ma l'ho data in pasto a wolfram alpha che mi ha restituito il valore del tempo corrispondente a quando il razzo raggiunge la velocità di fuga
Dopo aver sbagliato 3 volte a inserire lo stesso dato in wolfram, ho trovato
Per il punto 3 ho sostituito il valore di
valore alternativo: OrsoBruno96 ha scritto che le molecole sono a STP, ma molto probabilmente intendeva a SATP, cioè a temperatura ambiente, e in questo caso dovrebbe venire
) e qualche(una) considerazione: forse ho sbagliato qualcosa (non i conti, quelli li ho controllati fin troppe volte
)...se invece non ho sbagliato, il rapporto tra le masse sembra essere davvero molto piccolo, perché il tempo a cui viene raggiunta la velocità di fuga è molto vicino al valore limite di 250...non che mi aspettassi cose tanto diverse visti i grafici di