Entropia

Davide90 · Messaggio da **Davide90** » 11 set 2009, 14:29

Premessa: per scrivere la formula in LaTeX basta selezionare la riga da texxare e premere sul pulsante tex sopra la finestra. Visto che hai già scritto la formula in codice non è un grande sforzo... Poi spostando il mouse sopra la formula vedi quali astrusi monosillabi bisogna scrivere per le varie espressioni:
$\Delta S=\frac{2Q}{T_1-T_2}\ln\frac{(T_1+T_2)^2}{4T_1\cdot T_2}$

Ho corretto il denominatore dell'argomento del logaritmo, dove le due temperature vanno moltiplicate. Altrimenti dovresti calcolare il logaritmo di una quantità dimensionale (il controllo dimensionale aiuta a trovare molti errori

).

Soluzione: i due corpi raggiungono una temperatura di equilibrio $T_f$ tale che le quantità di calore scambiate dai due corpi siano uguali. Quindi, indicando con $m$ e $c$ la massa e il calore specifico dei due corpi, e assumendo $T_1>T_2$ ,
$mc(T_f-T_2)=mc(T_1-T_f)=Q$
da cui otteniamo $T_f=\dfrac{T_1+T_2}{2}$ e $mc=\dfrac{2Q}{T_1-T_2}$ .
Per la definizione di entropia, la variazione di entropia totale del sistema è la somma delle variazioni entropiche dei due corpi (il sistema dei due corpi è chiuso e isolato termicamente):
$\Delta S_{tot} =\Delta S_1+ \Delta S_2 =\int_{T_1}^{T_f} \dfrac{dQ}{T}+\int_{T_2}^{T_f} \dfrac{dQ}{T}=$
$=mc\cdot \left( \int_{T_1}^{T_f} \dfrac{dT}{T}+\int_{T_2}^{T_f} \dfrac{dT}{T} \right)=mc \cdot \ln \dfrac{T_f^2}{T_1+T_2}$
Sostituendo con le due espressioni trovate precedentemente per $mc$ e $T_f$ abbiamo la tesi.
Notiamo che, poichè $T_1>T_2$ , $\Delta S \geq 0$ , quindi non siamo riusciti a confutare il secondo principio della termodinamica.

MrTeo · Messaggio da **MrTeo** » 11 set 2009, 14:30

Proviamo: C è la capacità termica (uguale per i due corpi) e l'espressione per trovare la variazione di entropia di un corpo riscaldato reversibilmente è nella letteratura (si può ricavare anche con un integrale a partire dalla definizione, ma temo di non saperlo fare

)...

$\begin{array}{l} T_{eq} = \frac{{T_1 + T_2 }}{2} \\ Q = C\left| {\frac{{T_1 + T_2 }}{2} - T} \right| \\ C = \frac{{2Q}}{{\left| {T_2 - T_1 } \right|}} \\ \end{array}$

$\begin{array}{l} \Delta S_1 = C\ln \left( {\frac{{T_{eq} }}{{T_1 }}} \right)\quad \Delta S_2 = C\ln \left( {\frac{{T_{eq} }}{{T_2 }}} \right) \\ \Delta S = C\ln \left( {\frac{{T_{eq} }}{{T_1 }}} \right) + C\ln \left( {\frac{{T_{eq} }}{{T_2 }}} \right) \\ \Delta S = C\ln \left[ {\frac{{\left( {\frac{{T_1 + T_2 }}{2}} \right)^2 }}{{T_1 T_2 }}} \right] \end{array}$

Sviluppando otteniamo:

$\Delta S = \frac{{2Q}}{{\left| {T_2 - T_1} \right| }}\ln \left[ {\frac{{\left( {T_1 + T_2 } \right)^2 }}{{4T_1 T_2 }}} \right] \\$

Dov'è l'errore? Il risultato mi viene simile, quindi credo che in linea di massima il procedimento sia giusto...

Edit: tutto chiaro dopo aver visto il post di Davide90... lascio il mio a onor di cronaca

Hope · Messaggio da **Hope** » 11 set 2009, 15:04

grazie a davide90 per il supporto LaTex
lo avevorisolto come mr Teo non conoscendo gli integrali.dovro crescere un po con il LaTex

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