Biglie, aste e ancora aste!

[Pigkappa]

1. Una biglia e un'asta.
Una biglia di massa urta un'asta di massa lunga di momento d'inerzia . La biglia inizialmente si sta muovendo alla velocità perpendicolarmente all'asta, e la colpisce ad una distanza dal centro. L'urto è elastico. Tutto il moto si svolge su un piano, ed in assenza di gravità.
Si mostri che la velocità relativa tra la biglia ed il punto dell'asta che viene colpito è la stessa subito prima e subito dopo l'urto, in modulo.


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2. Moltissime aste!

Si consideri una serie di aste di lunghezza , masse , momenti di inerzia , con e con . Il centro di massa di ogni asta coincide con il centro dell'asta. Le aste sono piazzate su una superficie orizzontale liscia. Le estremità di ogni asta sono vicine a quelle dell'asta precedente, in modo da poterle urtare.
Si dà applica per un breve intervallo di tempo una forza impulsiva alla prima asta, nella direzione mostrata in figura, in modo da farla traslare e ruotare. La prima asta urterà la seconda, che urterà la terza, e così via. Tutti gli urti sono elastici.
Dimostrare che per la velocità dell'n-esima asta tenderà all'infinito, per tenderà a 0, e per non dipenderà da n. Si noti che corrisponde alla distribuzione uniforme di massa.


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Commenti: entrambi i problemi possono essere risolti senza fare tantissimi calcoli (ad esempio, nel primo non è necessario calcolare esplicitamente le velocità dell'asta e della biglia dopo l'urto). Il primo problema potrebbe essere utile per risolvere il secondo.
Entrambi provengono dal Morin (si veda olifis/phpBB3/viewtopic.php?f=3&t=13 per la descrizione).

[Alex90]

1. Una biglia e un'asta.
Una biglia di massa urta un'asta di massa lunga di momento d'inerzia . La biglia inizialmente si sta muovendo alla velocità perpendicolarmente all'asta, e la colpisce ad una distanza dal centro. L'urto è elastico. Tutto il moto si svolge su un piano, ed in assenza di gravità.
Si mostri che la velocità relativa tra la biglia ed il punto dell'asta che viene colpito è la stessa subito prima e subito dopo l'urto, in modulo.

Prima e dopo l'urto si conservano la quantità di moto, l'energia cinetica e il momento angolare rispetto al centro dell'asta, perciò si ha:







La velocità relativa tra la biglia e l'asta prima dell'urto è , mentre dopo l'urto è data da

Dalla e dalla si ricava che



Da questo sistema di tre equazioni in 3 incognite, facendo poi svariati calcoli che non riporto (seguo il consiglio di Converge ) si ottiene:



e



dove e

Perciò



Andando a sostituire il tutto dovrebbe essere verificato che:





che è la tesi

Prego gentilmente Pigkappa di non postare più problemi così almeno fino a dopo Cesenatico o ne andrà della mia preparazione per matematica

Ps. veramente un bel problema

[Pigkappa]

Va bene, adesso cerca di rifarlo con meno contacci... C'è un modo più veloce di farlo a partire dalle equazioni che hai scritto.

[pascal]

A partire dalle equazioni scritte possiamo seguire il seguente procedimento per risparmiare alcuni calcoli:
portiamo al primo membro i termini von e rapportiamo la (2) e la (3) con la (1):





Quindi



e la velocità relativa rimane invariata.

[CoNVeRGe.]

2. Moltissime aste!
Dopo il breve impulso iniziale la prima asta acquista una velocità e una velocità angolare di rotazione .
Per la conservazione del momento angolare rispetto al punto spinto si ha .
Da questa si ottiene che .
Stessa relazione lega ovviamente le velocità della seconda asta appena dopo l'urto con la prima, quindi .

Nell'urto della prima asta con la seconda applico le conservazioni della quantità di moto (1), dell'energia (2) e del momento angolare rispetto al punto di impatto delle due aste (3):







con e le velocità della prima asta dopo l'impatto con la seconda.

Evidentemente si sono assunti per positivi i versi delle velocità e . La (3) è così perchè il momento angolare dell'asta 2 rispetto a tale punto si conserva rimanendo nullo.

Sostituendo le equazioni iniziali e chiamando otteniamo:







Ora sostituendo la (1) nella (3) e inserendo e nella (2) otteniamo numerose semplificazioni fino a giungere a:

.

Quindi, poichè la relazione si ripete per ogni coppia di aste, ci troviamo davanti ad una successione geometrica:



Quell'oggetto tra parentesi è quando , è maggiore e minore di 1 quando è maggiore e minore rispettivamente di 1. Di qui i limiti da dimostrare.


P.S. = Questo direi che era il metodo contoso.. l'altro differisce nel procedimento oppure è più semplice perchè si puo semplificare allo stesso modo del primo problema?

[Pigkappa]

P.S. = Questo direi che era il metodo contoso.. l'altro differisce nel procedimento oppure è più semplice perchè si puo semplificare allo stesso modo del primo problema?

In realtà non si può rendere molto più breve. Risparmi qualche calcolo usando che, se la velocità con cui il punto più in basso della prima sbarra quando colpisce la seconda è , allora il punto più in alto della seconda sbarra si muoverà con velocità subito dopo l'urto, perchè la prima non viene rallentata di molto e la velocità relativa dei punti in cui avviene l'urto rimane uguale in modulo.

[pascal]

Mi trovavo la stessa espressione finale, ma che conduce ad un risultato contrario a quello contenuto nella traccia.

[CoNVeRGe.]

Ops, è vero, ci sono cascato come un pollo..

Per si ha e quindi per si ha .

Così ho imparato a dover verificare certe cose..

[Pigkappa]

Sì, avevo sbagliato nel testo.