Orbite per Yukawa

[Fedecart]

Uno dei modelli per descrivere l'interazione nucleare forte consiste nel dire che le particelle in un nucleo interagioscono l'una con l'altra attraverso la forza centrale di Yukawa



dove è la distanza tra due particelle, e sono costanti.

NOTA: In questo esercizio supponiamo valga in modo totale la meccanica classica anche alla piccolissima scala nucleare (cosa falsa, ma utile per fare un bell'esercizio senza complicarlo troppo)

1) Facendo l'approssimazione che vi siano solo due particelle, una con massa enormemente maggione dell'altra che ha massa (e dunque essenzialmente ferma) determinare le condizioni sui parametri ed affinchè la particella di massa si muova su un orbita circolare di raggio .
2) Che altre condizioni occorre aggiungere affinchè tale orbita circolare sia stabile?
3) Supponiamo che la particella si muova su un orbita circolare stabile di raggio , e sia lievemente perturbata radialmente. Determinare la frequenza delle piccole oscillazioni radiali attorno a tale moto circolare.
4) In quali casi la dinamica è periodica, ovvero la particella disegna un orbita chiusa?
5) Dire cosa eventualmente cambia nelle risposte alle domande 1, 2, 3, 4 nel caso le due particella abbiano massa confrontabile ed


Probabilmente è un problema tosto. Io al liceo non credo che sarei riuscito a farlo, ma confido nell'evoluzione della specie degli olimpionici nel tempo.

Buon Lavoro!

[BernardRiemann]

Una domanda probabilmente sciocca:cosa intendi con "affinchè la particella di massa m si muova di orbite circolari"? cioè mi pare che sono implicite delle condizioni iniziali sulla velocità della particella piccola,perchè se avesse ad esempio velocità iniziale completamente radiale,allora direi che il moto avviene tutto lungo il raggio e ameno che le forza non siano nulle,non resta mai sulla circonferenza di partenza(che come minimo mi pare necessiti di avere la velocità iniziale ortogonale alla sua posizione). Quindi sono sottointese delle condizioni iniziali sulla velocità iniziale nella richiesta?

[Fedecart]

Quindi sono sottointese delle condizioni iniziali sulla velocità iniziale nella richiesta?

Si, scusa. Davo per scontata una cosa importante: assumiamo che il modulo del momento angolare sia diverso da 0. Ora dovrebbe andare...

[michele95]

Scusa, ma credo di non avere capito.
Tu intendi trovare le condizioni su e tali che per ogni momento angolare di esiste almeno un per cui l'orbita circolare di raggio sia possibile?

[Omar93]

Credo che siamo tutti un pò bloccati per questo. Fatto il primo punto credo che il resto sia più facile ma non so ancora..
Non so ma è una relazione tra a e g o si trovano due equazioni per le condizioni su r?

[Fedecart]

Intendevo, fissato un raggio dell'orbita, può la particella muoversi di moto circolare, per un opportuna scelta di e ?
Discutere al variare di .

Ho editato il testo, ditemi se ora è più chiaro.
Scusate se sono stato poco chiaro, comunque dovrebbe andar meglio ora.

[Gabry]

Quello che mi viene in mente è di porre la forza di Yukawa uguale alla forza centripeta, ma così si ottiene solo una relazione tra a e g. Inoltre anche la velocità della particella è da ritenersi fissata?

[Fedecart]

Si, si può dar la risposta in termini del momento angolare .
Il primo punto è da leggersi come: trovare un equazione che leghi , in modo che fissati di questi il quarto è determinato.

Scusate per come ho espresso il testo.

[Gabry]

Ho posto la forza di Yukawa uguale alla forza centripeta:
(ho eliminato il segno meno intentendo la forza di Yukawa come attrattiva altrimenti il risultato finale mi darebbe un g negativo ma tu hai detto che erano positivi sia a che g)
Ho preferito usare l'energia cinetica al posto del momento angolare (penso che sia più usata e inoltre altrimenti mi rimarrebbe una velocità moltiplicata per il momento) ottenendo, se i calcoli sono giusti:
(senza eliminare il segno meno risulterebbe ma allora essendo sia l'energia che la distanza positivi g sarebbe dovuto essere negativa).
Punto 2:
La forza di Yukawa è una forza conservativa (almeno a livello classico) agendo solo in direzione radiale, quindi l'energia potenziale dovuta a questa forza vale . Affinchè l'orbita sia stabile l'energia potenziale deve essere minima. Quindi bisogna trovare il minimo dell'energia potenziale sostituendo il valore prima trovato di g (cioè imponendo che l'orbita sia circolare). Sostituendo g ho trovato: che ha il punto minimo per v=0, il che mi suggerisce che ho commesso qualche errore
Bisogna per caso utilizzare in modo analogo le leggi di Bohr per la stabilità dell'orbita di un elettrone?

[Omar93]

Ho posto la forza di Yukawa uguale alla forza centripeta:
(ho eliminato il segno meno intentendo la forza di Yukawa come attrattiva altrimenti il risultato finale mi darebbe un g negativo ma tu hai detto che erano positivi sia a che g)
Ho preferito usare l'energia cinetica al posto del momento angolare (penso che sia più usata e inoltre altrimenti mi rimarrebbe una velocità moltiplicata per il momento) ottenendo, se i calcoli sono giusti:
(senza eliminare il segno meno risulterebbe ma allora essendo sia l'energia che la distanza positivi g sarebbe dovuto essere negativa).
Punto 2:
La forza di Yukawa è una forza conservativa (almeno a livello classico) agendo solo in direzione radiale, quindi l'energia potenziale dovuta a questa forza vale . Affinchè l'orbita sia stabile l'energia potenziale deve essere minima. Quindi bisogna trovare il minimo dell'energia potenziale sostituendo il valore prima trovato di g (cioè imponendo che l'orbita sia circolare). Sostituendo g ho trovato: che ha il punto minimo per v=0, il che mi suggerisce che ho commesso qualche errore
Bisogna per caso utilizzare in modo analogo le leggi di Bohr per la stabilità dell'orbita di un elettrone?

Due domande?
1-La forza centripeta e di Yukawa sono....
2-Come hai fatto a calcolare l'energia potenziale?
Comunque secondo me dovresti ricondurti ad un moto armonico grazie al quale calcolare poi la frequenza e dare le condizioni per un'orbita stabile.