Se la mia interpretazione del testo (e della figura) è corretta, al passo
ci sono
quadratini ciascuno di lato
, massa
.(\frac{L^{2}}{3^{2n}}))
e disposti in una matrice quadrata di
(dispari) righe e colonne nel tappeto di lato
.
Si può istituire un sistema di assi cartesiani
, con origine nel centro del quadrato di partenza e assi coincidenti con la riga (colonna) centrale, in modo che ci siano
righe nel semiquadrato con le ordinate positive (negative). Il momento d'inerzia richiesto rispetto all'asse
può ottenersi per la nota proprietà come somma di quelli (uguali) rispetto agli assi
. Sarà
. Al crescere di
le aree dei quadratini diventeranno sempre più "puntiformi", ce ne saranno
per ogni riga - ed avranno lo stesso momento di inerzia rispetto all'asse
- essendo
la differenza fra le ordinate di due righe consecutive. La distanza di ogni riga dall'asse delle ascisse, la sua ordinata, è un multiplo intero di questa differenza e dovrà elevarsi al quadrato. Riferendosi al semiquadrato con ordinate positive che ha momento di inerzia pari alla metà di
e quindi alla quarta parte di
ottenibile come limite quando
diverge, la somma dei quadrati di questi interi sarà, avvalendosi della nota formula
^{2} = \frac{1}{6}.\frac{3^{n}-1}{2}. \frac{3^{n}+1}{2}. 3^{n})
- da cui
^{2}}) = \frac{3.M.L^{2}}{2})
.
Questo risultato appare molto significativo: essendo il coefficiente
=(9/6))
, esso è 9 volte quello (noto) del quadrato originario, come se la massa fosse stata "spalmata" - così è stato - sul tappeto di lato triplo di quello originario. Sarebbe insomma, come recita il titolo del testo, il momento d'inerzia del tappeto magico. Ovviamente, sempre se...
Non è "quello che li ha generati" ad essere rimosso. Pensa al primo passo, tanto afferrato quello gli altri sono uguali. Allora dividi il quadrato grande in nove quadrattini come vedi in figura nel sito che ti ho linkato. Dimenticati del grande. Numera i quadrattini da 1 a 9 dall'alto a sinistra, riga per riga, in questo modoe che il quadrato più grande (quello con cui si incomincia il processo) abbia lato
trovare il momento di inerzia del tappeto rispetto a un asse perpendicolare e passante per il centro del quadrato grande.
...
cioè (1/72) di quello del quadrato originario e non, come hai scritto tu, I'= (1/72)I.
