Come si puo intuire, l'angolo di deflessione è l'angolo tra la traiettoria iniziale e quella dopo l'urto.
SNS 2008/2009 Problema 1
SNS 2008/2009 Problema 1
Una particella di massa 
e velocità iniziale 
urta un'altra particella ferma di massa 
. Determinate il massimo angolo di deflessione possibile per la prima particella. Si supponga l'urto perfettamente elastico.
Come si puo intuire, l'angolo di deflessione è l'angolo tra la traiettoria iniziale e quella dopo l'urto.
Come si puo intuire, l'angolo di deflessione è l'angolo tra la traiettoria iniziale e quella dopo l'urto.
Re: SNS 2008/2009 Problema 1
Facciamo riferimento ad un sistema di assi cartesiani 
in cui la particella di massa 
viaggia con velocità parallela all'asse 
Dato che l'urto è perfettamente elastico sono conservate sia la quantità di moto del sistema che l'energia cinetica totale, quindi si ha:
+\frac{1}{2}m\left ({v_{x}}^2+{v_{y}}^2 \right))
Dove
, 
, 
e 
indicano le componenti della velocità rispettivamente di 
e dopo l'urto.
Da cui sostituendo e indicando con
si ottiene:
^2 + \left( \frac{V'_{y}}{\mu} \right)^2 \right ))
Da cui
{V'_{y}}^2 = V^2(\mu- 1) - {V'_{x}}^2(\mu+1) + 2V{V'_{x}})
V'^2 = V^2(\mu- 1) + 2VV'\cos\theta)
V'^2 + (1 - \mu)V^2}{2VV'})
V'^2 + (1 - \mu)V^2}{2VV'})
...
Dato che l'urto è perfettamente elastico sono conservate sia la quantità di moto del sistema che l'energia cinetica totale, quindi si ha:
Dove
Da cui sostituendo e indicando con
Da cui
...
Ultima modifica di Alex90 il 29 apr 2009, 20:56, modificato 2 volte in totale.
Re: SNS 2008/2009 Problema 1
Occhio che puoi semplificare non poco con: 
Credo manchi soltanto una relazione tra
e in modo da poter semplificare tutte le velocità...
Credo manchi soltanto una relazione tra
Re: SNS 2008/2009 Problema 1
Mi correggo: ovviamente sarebbe impossibile semplificare tutte le velocità perchè dopo avremmo 
determinato..
Pensa infatti a quello che devi trovare, non sei lontano dalla soluzione
Pensa infatti a quello che devi trovare, non sei lontano dalla soluzione
Re: SNS 2008/2009 Problema 1
E questo?
mica vorremo abbandonarlo no?
Direi
mica vorremo abbandonarlo no?
Direi
Re: SNS 2008/2009 Problema 1
Si, anch'io.
@Alex90: Il problema ti chiede di trovare l'angolo massimo. Sei giunto ad un'equazione da cui ricavi)
e poi trovi il massimo della funzione.
@Alex90: Il problema ti chiede di trovare l'angolo massimo. Sei giunto ad un'equazione da cui ricavi
Re: SNS 2008/2009 Problema 1
eh lo so ma a scriverla un po' ci vuole quindi adesso se ho tempo cerco di texarla per bene 
Re: SNS 2008/2009 Problema 1
Riguardo a questo problema ho trovato una simpatica caratteristica, che illustro in figura sottostante.
M e V sono riferite alla massa maggiore; m e v sono riferite alla massa minore urtata dalla precedente.
Detto P il punto in cui avviene l'urto della massa M lanciata a velocità V0 in senso orizzontale (da sinistra a destra nel disegno), il luogo dei possibili estremi del vettore quantità di moto del corpo più pesante dopo l'urto è una circonferenza di raggio
Naturalmente qui si vede anche quale può essere l'angolo massimo di deflessione richiesto dal problema, e per calcolarlo basta fermarsi alla geometria senza ricorrere all'analisi matematica.
Equazioni del moto:
Sviluppando i calcoli e risolvendo per le componenti della quantità di moto della massa minore:
^2} + {\left( {m{v_y}} \right)^2} - 2\frac{{{V_0}mM}}{{m + M}}\left( {m{v_x}} \right))
Ricordando l'equazione di un cerchio passante per l'origine e con il centro situato lungo l'asse x:
e confrontando con la precedente equazione si ricava
M e V sono riferite alla massa maggiore; m e v sono riferite alla massa minore urtata dalla precedente.
Detto P il punto in cui avviene l'urto della massa M lanciata a velocità V0 in senso orizzontale (da sinistra a destra nel disegno), il luogo dei possibili estremi del vettore quantità di moto del corpo più pesante dopo l'urto è una circonferenza di raggio
Naturalmente qui si vede anche quale può essere l'angolo massimo di deflessione richiesto dal problema, e per calcolarlo basta fermarsi alla geometria senza ricorrere all'analisi matematica.
Equazioni del moto:
Sviluppando i calcoli e risolvendo per le componenti della quantità di moto della massa minore:
Ricordando l'equazione di un cerchio passante per l'origine e con il centro situato lungo l'asse x:
e confrontando con la precedente equazione si ricava
Re: SNS 2008/2009 Problema 1
Elegante soluzione che fa trasparire la risposta in modo geometrico e intuitivo.Falco5x scrive...
Trascrivo un altro modo per giungere alla stessa conclusione.
Teorema di Carnot:
Conservazione energia cinetica:
Nelle precedenti
In tale circonferenza q è una corda, il diametro si trova su