L'integrale definito

[Cheyenne]

Una funzione è integrabile se uniformemente continua:



Dopo aver disegnato nel piano cartesiano una funzione uniformemente continua, scomponiamo l'area sottesa dal grafico in n rettangoli di ordinata superiore (M) e ordinata inferiore (m). L'area della funzione (A), definita in un generico intervallo [a,b], è:



La somma delle aree dei rettangoli di ordinata inferiore è minore alla somma delle aree dei rettangoli di ordinata superiore:



In particolare se prendo la differenza fra le due sommatorie (o differenza fra le aree):



questa differenza è uguale a zero, quando:



Poiché la funzione è uniformemente continua per ipotesi, posso scrivere:



Quindi:



Per il limite:



Quindi:



Teorema di Torricelli-Barrow

Assunto che:



e che, per il teorema della media:

1)



2)



Allora, il teorema di Torricelli-Barrow si dimostra in questo modo:



Per il teorema della media:

La funzione è quindi una primitiva di .

[Omar93]

Bravo,buon lavoro! Infatti nel forum dovrebbero mettere una sezione di matematica. Vediamo pigkappa che dice.

[Pigkappa]

Pigkappa non decide le sezioni del forum, e comunque non pensa che serva una sezione apposta per la matematica. Se avete questioni particolari relative a cose che comunque possono c'entrare con la fisica (esempio che va bene: gli integrali definiti; esempio che non va bene: il teorema cinese del resto), non c'è nessun problema se postate in una delle altre sezioni.

[Omar93]

Pigkappa non decide le sezioni del forum, e comunque non pensa che serva una sezione apposta per la matematica. Se avete questioni particolari relative a cose che comunque possono c'entrare con la fisica (esempio che va bene: gli integrali definiti; esempio che non va bene: il teorema cinese del resto), non c'è nessun problema se postate in una delle altre sezioni.

Appunto.

[Epimenide]

Pigkappa non decide le sezioni del forum, e comunque non pensa che serva una sezione apposta per la matematica. Se avete questioni particolari relative a cose che comunque possono c'entrare con la fisica (esempio che va bene: gli integrali definiti; esempio che non va bene: il teorema cinese del resto), non c'è nessun problema se postate in una delle altre sezioni.

Pigkappa parla di sé in terza persona!

Ok, cretinate a parte, secondo me si potrebbero spendere due parole sull'origine matematicamente non rigorosa ma che torna utilissima nelle applicazioni fisiche del calcolo differenziale basato sul concetto di infinitesimo e non sui limiti. Per intenderci derivate ed integrali come venivano fatti da Leibniz e Newton.

Piccola precisazione, sottolineo nuovamente che ciò non è da intendersi in maniera rigorosa, ha solo una funzione euristica e può chiarire le idee su come intervenire in alcuni casi. Tuttavia il concetto di infinitesimo è ampiamente utilizzato in quasi tutti i testi nelle dimostrazioni fisiche e può dare un'idea del perché risolvete le differenziali a variabili separabili "spezzando" quello che dovrebbe essere solo un simbolo matematico.

In breve immaginando che sia un incremento infinitesimo, il rapporto tra differenziali diventa un rapporto infinitesimo tra incrementi (derivata) e l'integrale si può leggere come sommatoria di infiniti elementi infinitesimi (una sorta di integrale di Riemann con base infinitesima). Con questo metodo è possibile dimostrare anche alcune proprietà delle derivate (cosa questa ormai utile solo a fini storici o mnemonici se si è proprio disperati) ma soprattutto sviluppare metodi dimostrativi per il calcolo di aree e talvolta di integrali di linea che altrimenti richiederebbero un lavoro ben più complesso. Ripeto, in molti testi (quali lo stesso Halliday) suddividere in infinitesimi è pratica dimostrativa comune.

Il metodo non è rigoroso perché gli infinitesimi nell'analisi vanno in contraddizione con la proprietà archimedea di R e in queste dimostrazioni a volte vengono considerati assimilabili a zero, altre volte no, senza un criterio preciso, per questo l'analisi moderna si fonda sul concetto più chiaro e rigoroso di limite, ed è così che va impostata, l'idea degli infinitesimi è da considerarsi quindi un pragmatismo per schiarirsi un po' le idee su alcune operazioni ed un metodo euristico per risolvere alcuni problemi.

Questi sono dati che ho ricavato leggendo alcuni testi, dal basso della mia posizione di studente di quinta liceo, non prendete per assolutamente valido quello che ho scritto, anzi, se chi ne sa più di me vuole correggere qualche mio fraintendimento ben venga.

[Fedecart]

Con questo metodo è possibile dimostrare anche alcune proprietà delle derivate (cosa questa ormai utile solo a fini storici o mnemonici se si è proprio disperati) ma soprattutto sviluppare metodi dimostrativi per il calcolo di aree e talvolta di integrali di linea che altrimenti richiederebbero un lavoro ben più complesso. Ripeto, in molti testi (quali lo stesso Halliday) suddividere in infinitesimi è pratica dimostrativa comune.

Qualunque matematico serio si incavolerebbe tantissimo. Dal punto di vista matematico trattare le derivate come frazioni di infinitiesimi non ha senso, è scorretto, e le dimostrazioni di proprietà delle derivate fatte in quel modo non hanno proprio nessun valore. Il fatto che il calcolo di aree e volumi funzioni ugualmente pensando ai come cubettini da sommare è un indice della robustezza della teoria matematica sottostante (che anche se usata male riesce ad arrivare al risultato giusto), non certo una dimostrazione.
Tuttavia la fisica è la scienza dell'approssimazione sensata, e spesso in fisica si ricavano leggi esatte pensando proprio agli infinitesimi come "cosette piccole".
Credo sia utile capire la differenza tra le due situazioni. Personalmente io so che è sbagliato, so che funziona lo stesso, e quindi se ho fretta faccio anch'io così. Tuttavia, per dire, se mai da grande dovessi scrivere un articolo, eviterei perchè mi piacerebbe aver più rigore. Ma, ripeto, quanto formale un fisico desidera essere è un fatto personale.
L'Halliday universitario per primo, pur essendo ottimo per un liceale motivato, riletto a 3 anni di distanza ha un livello di rigore decisamente basso.

Il metodo non è rigoroso perché gli infinitesimi nell'analisi vanno in contraddizione con la proprietà archimedea di R e in queste dimostrazioni a volte vengono considerati assimilabili a zero, altre volte no, senza un criterio preciso, per questo l'analisi moderna si fonda sul concetto più chiaro e rigoroso di limite, ed è così che va impostata, l'idea degli infinitesimi è da considerarsi quindi un pragmatismo per schiarirsi un po' le idee su alcune operazioni ed un metodo euristico per risolvere alcuni problemi.

Ecco appunto. Può essere interessante sapere che esiste una sezione della matematica, detta Analisi non standard che vuole in qualche modo (e riesce a) formalizzare in maniera corretta l'idea di derivata come frazione, e di infinitesimo come "cosa tanto piccola". Nell'analisi non standard allora si che tutte le dimostrazioni noiose dei corsi di matematica in quinta superiore o di analisi 1 (come le proprietà delle derivate) diventano un giochetto, posto di sapere le proprietà delle frazioni.

[Epimenide]

Perfettamente d'accordo con quello che hai scritto, per questo ho sottolineato diverse volte che si tratta di un metodo euristico. Non è solo l'Halliday, io finora ho trovato il differenziale trattato come infinitesimo anche su Mencuccini-Silvestrini (per quanto qui provino a rigorizzarlo), Rosati e Mazzoldi-Nigro-Voci. Non che abbia studiato su tutti e tre (studio sul Mazzoldi), ma ho dato un'occhiata per curiosità per vedere come si relazionavano coi differenziali... Esattamente come l'Halliday, sono testi migliori per altre ragioni, non certo per come guardano ai differenziali. Poi come hai accennato, in Fisica l'infinitesimo ha una sua validità. L'Halliday andrebbe criticato secondo me per l'eccessiva discorsività e perché si prende troppo sul serio (mentre un testo come La Fisica di Feyman è addirittura più discorsivo ma riesce meglio nel suo intento), ma qui andiamo decisamente troppo OT.

Tornando In Topic più che per il rigore formale o per introdurre l'analisi non standard ritengo importanti gli infinitesimi per ragioni storiche, ovvero per capire da dove son partiti coloro che hanno inventato l'analisi e per comprendere meglio i successivi sviluppi. Se ne può fare a meno, ma resta una cosa utile IMHO.