Tre masse attaccate ad aste

[Omar93]

Ci sono tre masse puntiformi m ,2m ,3m ognuna delle quali è fissata ad un'asta senza massa. Le tre aste,ciascuna di lunghezza L, sono collegate ad un connettore che le permette libere rotazioni(senza attrito nè momenti torcenti) in modo che l'angolo tra di loro cambi. Inizialmente l'angolo tra le varie aste è di 120 gradi ed il sistema è fermo. Tutti i punti e le aste giacciono sullo stesso piano. La massa più pesante,3m,viene istantaneamente colpita acquistando così una velocita perpendicolare all'asta a cui è attaccata e complanare alle altre aste. Determina l'accelerazione delle tre masse subito dopo che 3m è stato colpito. Nota: il sistema è a gravità zero, e quindi lo puoi immaginare senza peso o su un piano liscio orizzontale.

[imagine]

La cosa strana è che dice che le aste sono fissate "in modo che l'angolo cambi"

[Gabry]

Visto che non si fanno passi avanti nella risoluzione di questo problema provo a postare la mia soluzione (che non credo sia corretta ma magari vedendola a qualcuno viene un lampo di genio).

Subito dopo l'urto la massa 3m inizia a ruotare attorno al perno centrale (anche il perno si muove trascinato dalla massa tuttavia subito dopo l'urto penso che si possa approssimare per un istante di tempo molto piccolo ad un moto circolare uniforme) a questo punto il sistema risente della forza centrifuga esercitata dalla rotazione della massa 3m che vale: . Dato che non ci sono altre forze il sistema inizia a muoversi con accelerazione: .
Non sono sicuro di questo risultato perchè non ho usato l'angolo tra le aste (che veniva specificato, quindi penso che serva a qualcosa) e inoltre mi sorge il dubbio che le altre due aste inizino a ruotare (anche se non vedo quale momento potrebbe metterle in rotazione).

[modesto]

Credo che il problema vada affrontato con le leggi di conservazione dato che è nulla la risultante delle forze esterne agenti sul sistema così come il loro momento. Pertanto dovendosi conservare il vettore quantità di moto non può mettersi a ruotare attorno al connettore. Lo stesso baricentro del sistema dovrebbe acquistare per definizione una velocità nello stesso verso di quella di 3m e dovrebbe mantenerla perchè è nulla la risultante delle forze esterne.

[Gabry]

Credo che il problema vada affrontato con le leggi di conservazione dato che è nulla la risultante delle forze esterne agenti sul sistema così come il loro momento. Pertanto dovendosi conservare il vettore quantità di moto non può mettersi a ruotare attorno al connettore. Lo stesso baricentro del sistema dovrebbe acquistare per definizione una velocità nello stesso verso di quella di 3m e dovrebbe mantenerla perchè è nulla la risultante delle forze esterne.

Perchè non può mettersi a ruotare intorno al connettore? La quantitò di moto si conserva, ma quella dell'intero sistema non quella della massa 3m. Istante per istante infatti il connettore si muove lungo la retta dell'asta alla quale è fissata la massa 3m (la distanza non può variare considerando l'asta non deformabile) e questa proprio per conservare la qdm acquista una componente di velocità parallela all'asta.

[modesto]

Certo che si conserva la qdm dell'intero sistema che infatti è quella del centro di massa,che acquista la velocità , nel quale si immagini concentrata l'intera massa del sistema. Con questo schema si può pensare il moto delle masse come traslatorio con il baricentro e rotatorio attorno ad esso. Il resto del tuo discorso sul movimento del connettore francamente non lo capisco.

[Gabry]

Se si presuppone che la lunghezza dell'asta sia costante la distanza tra il connettore e la massa 3m deve rimanere costante. Quindi quando la massa 3m inizia a muoversi l'asta "trascina" il connettore e quindi il resto del sistema. Il connettore (e anche le altre due masse) acquista una certa velocità, quindi per conservazione della qdm la massa 3m deve acquistare (o perdere) una certa velocità in direzione opposta a quella del connettore. Per questo penso che la massa 3m gira intorno al connettore,però il connettore non rimane fermo quindi si ha la composizione di un moto rotatorio e uno traslatorio, il problema è che il moto traslatorio cambia direzione in base a dove si trova la massa.

[modesto]

Abbiamo espresso i nostri punti di vista e il dibattito fra noi è a un punto morto. Siccome sono stato "redarguito" nel passato per aver postato la soluzione in un momento non opportuno, credo tuttavia di poter specificare il procedimento non più di tanto senza dare i risultati.
Disponendo un riferimento con origine nel connettore e asse orientato verso la massa , si può localizzare il baricentro che con l'urto acquista la velocità e la mantiene, dato che la risultante delle forze esterne al sistema è nullo, "trascinando" palle e connettore nel suo moto traslatorio uniforme. Le palle traslano con il baricentro e ruotano attorno ad esso con velocità angolari diverse poichè le aste non sono fissate ma possono ruotare attorno al connettore. Si conserva la quantità di moto già con la traslazione e quindi la quantità di moto della rotazione delle palle si annulla. Ciò implica due relazioni (annullamento delle componenti x ed y ) fra le velocità, perpendicolari alla congiungente palla-baricentro. La terza relazione si ottiene con la conservazione del momento angolare. Una volta trovati i moduli delle velocità è possibile trovare le accelerazioni centripete verso il baricentro. Annullandosi la derivata delle velocità angolari poiché è nullo il momento delle forze esterne, non ci sono accelerazioni tangenziali.

[Gabry]

Il mio errore è stato considerare la forza centrifuga come se fosse una forza esterna, ma essendo interna non può accelerare il sistema. Tuttavia avevo capito almeno che la massa 3m inizia a girare attorno al connettore. A questo punto vorrei proporre quest'altra soluzione:
Per semplicità considero un sistema di riferimento ruotato in modo che l'asse y coincida con l'asta a cui è attaccata la massa 3m e solidale con il cdm , così il moto della massa 3m diventa puramente rotatorio. La massa 3m a questo punto esercita una forza centrifuga parallela all'asse y. Le altre due masse allora devono iniziare a ruotare e sviluppare due forze centrifughe la cui risultantehe abbia componente lungo l'asse y di uguale modulo a (le forze interne devono essere sempre bilanciate per il 3° principio della dinamica ). Inoltre (per lo stesso principio) anche le componenti x di tali forze devono essere uguali e contrarie. Quindi:

Risolvendo si ottiene:

e

Le accelerazioni valgono quindi:


Adesso (a meno di errori di calcolo) penso (e spero) che la soluzione sia corretta.
modesto penso che le nostre soluzioni siano equivalenti potresti postare i tuoi risultati?

[modesto]

Avevo compiuto un errore di calcolo e ho modificato il risultato sulle accelerazioni tangenziali - vedi la modifica. Domani o postdomani posterò l'intera soluzione che però non è equivalente alla tua. Com'è possibile che vengano velocità maggiori, se ho ben capito, di quella d'avvio? E le accelerazioni tangenziali ci sono?