Relatività e simultaneità

[sssudicooo]

Salve a tutti vi espongo il mio problema...
In questi giorni stiamo facendo la relatività ristretta a scuola, ma la mia opinione riguardo alla relatività della simultaneità è diversa da quella della prof. e da quella del libro (Hallyday-Resnick).
In sostanza il libro parla di due osservatori M e M' che sono coincidenti in un dato istante e la cui velocità relativa è v. Nell'istante in cui i due osservatori sono coincidenti, si ha l'emissione di due fotoni da due punti (A e B) equidistanti dagli osservatori. Il libro sostiene che la relatività della simultaneità consista nel fatto che M è raggiunto contemporaneamente dai fotoni perchè "fermo" parole del libro, mentre M' viene raggiunto prima dal fotone partito da B, perchè si sta muovendo in direzione di questo'ultimo. Il libro specifica proprio: M' afferma: "Mi ha raggiunto prima il fotone emesso da B".
Secondo me non è così. Secondo me M afferma che gli eventi sono simultanei, come del resto afferma M', semplicemente M sostiene che il fotone B ha raggiunto M' prima del fotone A ed M' afferma che il fotone A ha raggiunto M prima del fotone B.
Dico ciò pensando al fatto che sia rispetto a M che rispetto ad M' i fotoni si muovono a velocità c. Dunque se le distanze di partenza sono uguali, le distanze in funzione del tempo saranno uguali e quindi i tempi impiegati per raggiungere gli osservatori.
Sto sbagliando?

[Pigkappa]

Salve a tutti vi espongo il mio problema...
In questi giorni stiamo facendo la relatività ristretta a scuola, ma la mia opinione riguardo alla relatività della simultaneità è diversa da quella della prof. e da quella del libro (Hallyday-Resnick).
In sostanza il libro parla di due osservatori M e M' che sono coincidenti in un dato istante e la cui velocità relativa è v. Nell'istante in cui i due osservatori sono coincidenti, si ha l'emissione di due fotoni da due punti (A e B) equidistanti dagli osservatori. Il libro sostiene che la relatività della simultaneità consista nel fatto che M è raggiunto contemporaneamente dai fotoni perchè "fermo" parole del libro, mentre M' viene raggiunto prima dal fotone partito da B, perchè si sta muovendo in direzione di questo'ultimo. Il libro specifica proprio: M' afferma: "Mi ha raggiunto prima il fotone emesso da B".
Secondo me non è così. Secondo me M afferma che gli eventi sono simultanei, come del resto afferma M', semplicemente M sostiene che il fotone B ha raggiunto M' prima del fotone A ed M' afferma che il fotone A ha raggiunto M prima del fotone B.
Dico ciò pensando al fatto che sia rispetto a M che rispetto ad M' i fotoni si muovono a velocità c. Dunque se le distanze di partenza sono uguali, le distanze in funzione del tempo saranno uguali e quindi i tempi impiegati per raggiungere gli osservatori.
Sto sbagliando?

In questi casi è facile fare confusione se non si fanno le cose in modo sistematico. Io ho cancellato una lunga risposta che stavo scrivendo qua perchè mi sono accorto che era sbagliata.

Intanto, per chiarire ciò che succede, diciamo che al tempo nel sistema la posizione di M e di M' è x=0, e partono due fotoni A da x=-L e B da x=+L diretti verso l'origine. M' si muove verso le x positive. Allora:
- Nel sistema di riferimento , in cui M è fermo, i fotoni raggiungono M nello stesso istante.
- Nel sistema di riferimento , in cui M' si muove verso destra, il fotone B raggiunge M' prima che il fotone A raggiunga M'.

Appurato questo, che se ho capito bene coincide con ciò che hai detto tu, notiamo che si dice che due eventi sono simultanei se avvengono nello stesso istante, cioè con la stessa coordinata temporale. I quattro eventi qua sono:

1)A raggiunge M.
2)B raggiunge M.
3)A raggiunge M'.
4)B raggiunge M'.

Fin qua siamo d'accordo. Ora tu dici che:

Secondo me M afferma che gli eventi sono simultanei, come del resto afferma M', semplicemente M sostiene che il fotone B ha raggiunto M' prima del fotone A ed M' afferma che il fotone A ha raggiunto M prima del fotone B.

Non so quanto tu sappia di relatività, ma per me si vede subito che questa cosa non è possibile. Gli eventi 1 e 2 nel sistema non solo sono simultanei, ma avvengono sia nello stesso istante che nello stesso punto. Perciò sono, per certi versi, lo stesso evento, e dovranno coincidere in tutti i sistemi di riferimento.

Può essere istruttivo fare il contaccio per verificare che effettivamente gli eventi 1 e 2 avvengono nello stesso istante anche nel sistema , in cui M' è fermo e M si muove. A questo scopo dobbiamo per forza usare le trasformazioni di Lorentz. Non so se le hai già fatte (probabilmente no), non so se le farai a scuola (spero di sì), ma in ogni caso devi guardartele perchè sono importantissime e permettono di scordarsi molti trucchetti inutili che cercano di insegnarti quando ti spiegano la relatività ristretta per la prima volta.

Dobbiamo definire altri due eventi:
5.)Il fotone A parte, nel sistema , al tempo t=0 e nella posizione x=-L.
6.)Il fotone B parte, nel sistema , al tempo t=0 e nella posizione x=+L.

Cerchiamo le coordinate degli eventi 5 e 6 nel sistema S'. Notiamo che il sistema S' si muove rispetto a S con velocità +v verso le x positive, quindi le trasformazioni di lorentz sono le solite:


Quindi:


Potrebbe essere una sorpresa, per te, il fatto che qua il fotone non parta a . Non è un errore: le cose funzionano davvero così.


Scriviamo adesso la posizione del fotone A in funzione del tempo t'. Visto che va a velocità c, è semplicemente:

Analogamente per il fotone B con velocità -c:

Vediamo quando e dove si incontrano: facendo i conti da viene fuori:

Da cui, usando la posizione in funzione del tempo di uno qualsiasi dei due:

Adesso chiediamoci: dove si trova l'osservatore M al tempo ? La sua posizione in funzione del tempo è semplicemente:

E se fai il conto, vedi che si trova proprio a . Quindi, anche nel sistema S', gli eventi 1 e 2 sono simultanei. Mi aspetto che gli eventi 3 e 4 non lo siano, se vuoi fai i calcoli per verificarlo.


Se qualcosa non ti è chiaro o hai altre domande, chiedi pure.

[sssudicooo]

Sei stato assolutamente chiarissimo... Io avevo il forte sospetto che ciò che affermavo fosse sbagliato, ma non avevo ancora trovato nessuno che mi spiegasse perché era sbagliato esaurientemente... Grazie mille, adesso forse sono entrato un po' più nell'ordine di idee della relatività ristretta...
Grazie ancora
Una domanda: sei per caso uno dei tutor di Trieste dell'anno scorso? Io l'anno scorso ero in uno dei "posti extra" per quelli di 4°. Spero di tornarci quest'anno per la selezione...

[Pigkappa]

Una domanda: sei per caso uno dei tutor di Trieste dell'anno scorso? Io l'anno scorso ero in uno dei "posti extra" per quelli di 4°. Spero di tornarci quest'anno per la selezione...

No, a Trieste sono stato solo da studente.


Un fatto utile che conviene ricordarsi, e potresti provare a dimostrare, è questo. Se due eventi sono dati dalle coordinate e , allora la quantità:

Assume lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento. È comodo per semplificarsi la vita in molti casi.