Due palle in un conduttore

[Omar93]

Due palle dello stesso raggio a sono collocate in un cattivo omogoneo conduttore con resistività . Trova la resistenza del mezzo tra le due palle sapendo che la loro separazione è molto maggiore del loro raggio.

[modesto]

Devo precisare molte premesse perchè vengano controllate in quanto la soluzione mi convince fino ad un certo punto, come dico in fondo.
1) Per definizione la resistenza è data dal rapporto fra la dif. di potenz. applicata e l'intensità di corrente registrata 2) Se colleghiamo allora le due palle, la cui separazione indichiamo con - distanza fra i centri molto maggiore del loro raggio - , ai poli positivo e negativo di un generatore di d.d.p. pari a , assumendo come superfici equipotenziali le due sup. sferiche, esse si caricano di carica 3) Facendo riferimento alle cariche positive per la corrente (convenzionale), queste si liberano in parte dalla superficie nel mezzo di resistività e il generatore ripristina istante per istante le cariche disperse nel mezzo. 4) Le due palle cariche generano un campo elettrico le cui linee di forza partono dalla carica positiva e si chiudono su quella negativa (in maniera analoga a quanto avviene per due cariche puntiformi opposte).5) Essendo però le sfere molto distanti rispetto alla loro dimensione, queste linee sono praticamente appiattite sulla congiungente i centri occupando approssimativamente la regione cilindrica di sezione perpendicolare 6) Le cariche disperse nel mezzo seguono queste linee di forza e si depositano sulla palla negativa costituendo la corrente. Tutto ciò premesso, l'intensità del campo nel punto della palla positiva più vicino all'altra palla è
, con costante dielettrica del mezzo.
Analogamente il potenziale e quindi la d.d.p. fra le palle risulta
.
La densità di corrente è e quindi l'intensità di corrente nel "cilindro", moltiplicando per , risulta
che giustamente non dipende da . Da cui

Prego di controllare la soluzione: perchè non dipende da ? Anche non approssimando mi risulterebbe questo valore moltiplicato per e quindi praticamente indipendente da . Forse perchè la corrente è sempre la stessa nonostante la distanza tra le palle oppure ho sbagliato tutto?...

[Omar93]

Tutti i concetti ci sono eccetto una cosa sola:

5) Essendo però le sfere molto distanti rispetto alla loro dimensione, queste linee sono praticamente appiattite sulla congiungente i centri occupando approssimativamente la regione cilindrica di sezione perpendicolare \pi a^{2}

Il fatto che le due palle siano a distanza grandissima tra di loro ci porta a considerarle come se fossero cariche puntiformi. Quindi le linee di forza (con ottima approssimazione) sono come in quel caso.
(per piacere potresti spiegarmi,supponendo vera la cosa delle linee appiattite, come mai l'area di base di quel cilindro ha tutte le linee di forza. Non poteva essere qualcos'altro?grazie)

Il secondo fatto che mi ha lasciato perplesso,e con il quale si poteva diffidare un pò di quel cilindro,è come mai consideri solo la corrente che è in . Se la superficie è equipotenziale(per questo caso isolato) ci dovrà essere un campo elettrico uscente(o entrante a seconda di quale palla prendi in considerazione) da essa in ogni suo punto. Che porta a dire....

Prego di controllare la soluzione: perchè non dipende da s? Anche non approssimando mi risulterebbe questo valore moltiplicato per \frac{s-a}{s} e quindi praticamente indipendente da s. Forse perchè la corrente è sempre la stessa nonostante la distanza tra le palle oppure ho sbagliato tutto?...

Si secondo me è come dici,la corrente è sempre la stessa.

Quando hai tempo per piacere potresti postare un problema?grazie

[Pigkappa]

Come dice Omar: le linee di forza non si dispongono tutte nel cilindro di area di base . Piuttosto, le linee di forza vicino ad una delle due sfere (a potenziali e ) sono disposte come se ci fosse solo quella sfera, visto che la distanza tra le due è grande. Le linee di forza in un punto generico dello spazio sono dovute all'effetto di entrambe le sfere.

Questo ci basta a calcolare la corrente che esce da una sfera? E questo ci basta a risolvere il problema?

Quando hai tempo per piacere potresti postare un problema?grazie

Soffri così tanto di astinenza, avendo già finito tutti quelli delle vecchie olimpiadi (internazionali comprese)? =P
Anche questo problema delle due sfere mi pare sia uscito alle olimpiadi, tra l'altro.

[Omar93]

A dir la verità no. Non è preso dalle olimpiadi,bensì da questo fantastico libro http://depositfiles.com/en/files/4395768
Il numero 3.157 (sarebbe interssante dare una guardatina al 1.13 il problema più terribile al mondo..)

[Pigkappa]

A dir la verità no.

A dir la verità sì: IPhO 2002, problema 2. Non ho detto che l'hai preso da lì, ma che era uscito anche alle Olimpiadi.

L'1.13 è famoso ed effettivamente trovare la via truccosa senza suggerimenti è quasi impossibile. C'è anche un modo brutale per farlo, risolvendo equazioni differenziali spiacevoli ma non infattibili.

Quel libro, che non conoscevo, mescola problemi facilissimi e problemi impossibili con una nonchalance quasi inquietante o_o.

[modesto]

Come dice Omar: le linee di forza non si dispongono tutte nel cilindro di area di base . Piuttosto, le linee di forza vicino ad una delle due sfere (a potenziali e ) sono disposte come se ci fosse solo quella sfera, visto che la distanza tra le due è grande. Le linee di forza in un punto generico dello spazio sono dovute all'effetto di entrambe le sfere.
Questo ci basta a calcolare la corrente che esce da una sfera? E questo ci basta a risolvere il problema?

La mia "immagine" delle linee di forza in realtà non differiva molto dalla vostra: anch'io pensavo che nelle immediate vicinanze fossero quelle di una sfera isolata. Però (pensavo) poi si dovevano congiungere a quelle dell'altra palla molto distante da cui l'approssimazione "cilindrica". Tuttavia venendo alla domanda se basta a calcolare la corrente in uscita, azzarderei una risposta affermativa. Si può considerare una superficie sferica di raggio infinitesimamente maggiore di attraversata necessariamente da tutte le cariche che escono dal polo positivo per cui risulta

da cui

Si tratterebbe com'è ovvio di un risultato che è un quarto del precedente risultando la corrente quattro volte maggiore. E' anche evidente che coincide con quella che, con lo stesso ragionamento, potremmo considerare in ingresso all'altra palla.

[Omar93]

ok il risultato è quello.