Conservazione di Q dalle equazioni di Maxwell.

Messaggio da **Pigkappa** » 4 feb 2012, 15:09

Sintesi dovuta al fatto che scrivo da uno smartphone.

Sì, la derivata doveva essere parziale. La formula a cui sei arrivato va bene, mettici P (avevi già calcolato correttamente il suo contributo).

modesto · Messaggio da **modesto** » 8 feb 2012, 18:46

Seguendo la tua esortazione, ho buttato giù le tre $\frac{\partial\rho v_i}{\partial t}$ e mi sono messo in primo luogo nell'ipotesi che i versori cartesiani rimangano costanti nel tempo
( la derivata temporale di ciascun versore sarebbe perpendicolare al medesimo). Dovrebbe allora risultare:
$\frac{\partial(\rho.v_x)}{\partial t}\vec i = - [ \frac{\partial(\rho.v_x^{2})}{\partial x}+ \frac{\partial(\rho.v_x.v_y)}{\partial y}+ \frac{\partial (\rho.v_x.v_z)}{\partial z}+ \frac{\partial p}{\partial x}]\vec i= -I \vec i$
$\frac{\partial(\rho.v_y)}{\partial t}\vec j = -[ \frac{\partial(\rho.v_y^{2})}{\partial y}+ \frac{\partial(\rho.v_x.v_y)}{\partial x}+ \frac{\partial (\rho.v_y.v_z)}{\partial z}+ \frac{\partial p}{\partial y}]\vec j = -J\vec j$
$\frac{\partial(\rho.v_z)}{\partial t}\vec k = -[ \frac{\partial(\rho.v_z^{2})}{\partial z}+ \frac{\partial(\rho.v_x.v_z)}{\partial x}+ \frac{\partial (\rho.v_y.v_z)}{\partial y}+ \frac{\partial p}{\partial z}]\vec k = -K \vec k$
ovvero $\frac{\partial(\rho\vec v)}{\partial t}+ I \vec i + J \vec j + K \vec k = 0$
Escludendo subito le derivate della pressione che mi pare diano $\vec \nabla p$ , si tratta di 9 derivate di tre fattori che, svolte con pazienza, danno luogo a 27 addendi in 18 dei quali ho identificato

$(\rho\vec v).(\vec \nabla . \vec v) + (\vec \nabla \rho .\vec v)\vec v$

Rimangono 9 addendi che, prima di scomporre $\vec v$ nelle tre componenti, sono
$(\rho v_x)\frac {\partial \vec v}{\partial x}+ (\rho.v_y)\frac{\partial \vec v}{\partial y}+ (\rho.v_z)\frac{\partial \vec v}{\partial z}$ .
Potrei esprimerli come
$(\rho \vec v. \vec \nabla v_x)\vec i + (\rho\vec v. \vec \nabla v_y)\vec j + (\rho \vec v . \vec \nabla v_z) \vec k$ con un'espressione molto brutta rispetto alle altre.

Non so se le premesse e i calcoli sono corretti. Così come le aggregazioni di addendi che ho effettuato: forse altre erano più opportune? Comunque, considerato che fino a poco tempo fa per me la divergenza era una discordanza di opinioni, non dimenticherò la cura che mi hai fatto fare. Anche se ora forse è opportuno che torni alle mie OEM e ai relativi problemi sns...

Messaggio da **Pigkappa** » 9 feb 2012, 1:15

modesto ha scritto:[...]

Giusto! Le equazioni a cui sei arrivato sono corrette, e più o meno ti sei avvicinato alla forma che si usa di solito.

Prendiamo la prima equazione e togliamo il versore. L'equazione è:

$\frac{\partial(\rho.v_x)}{\partial t} +\frac{\partial(\rho.v_x^{2})}{\partial x}+ \frac{\partial(\rho.v_x.v_y)}{\partial y}+ \frac{\partial (\rho.v_x.v_z)}{\partial z}+ \frac{\partial p}{\partial x} = 0$

E quelle per le componenti $y$ e $z$ ovviamente sono simili.

Raggruppiamo la derivata parziale lungo $\hat x$ :

$\frac{\partial(\rho.v_x)}{\partial t} +\frac{\partial(p + \rho.v_x^{2})}{\partial x}+ \frac{\partial(\rho.v_x.v_y)}{\partial y}+ \frac{\partial (\rho.v_x.v_z)}{\partial z} = 0$

Anche se non è immediato accorgersi che è conveniente fare così, definiamo il vettore:
$\vec R_x = (P + \rho v_x^2, \rho v_x v_y, \rho v_x v_z)$
E se guardi attentamente l'equazione sopra, ti accorgi che è nella forma:
$\frac{\partial(\rho v_x)}{\partial t} + \vec \nabla \cdot \vec R_x = 0$
Che assomiglia alle forme che ci piacevano. Si può fare la stessa cosa per le altre componenti definendo $\vec R_y$ e $\vec R_z$ in modo analogo; la pressione "si sposta" ogni volta a seconda della componente che stiamo considerando.

Adesso potremmo voler scrivere queste equazioni, che sono 3 perchè ci sono 3 componenti, come un'equazione unica per fare le cose in modo più compatto. E ci piacerebbe che questa equazione unica abbia una forma che ricorda le equazioni in forma conservativa che abbiamo già visto (cioè tutte quelle $\frac{\partial qualcosa}{\partial t} + \vec \nabla \cdot \vec{flusso} = 0$ ). Per fare questo bisogna inventarsi un nuovo oggetto fisico che metta insieme $\vec R_x$ , $\vec R_y$ e $\vec R_z$ .

Non la tiro per le lunghe e ti dico che questo oggetto si chiama tensore e potrebbe sembrarti un po' ostico capirne il senso fisico. Un tensore è un "vettore a più indici"; ad esempio, una matrice potrebbe essere un tensore a due indici. Ci sono tensori a più di due indici.
Il nostro tensore lo chiamiamo $R$ ; a volte si usa qualche simbolo strano per indicare che è un tensore (scriverlo in grassetto, oppure metterci sopra una "doppia freccia" tipo $\leftrightarrow$ ). Si dice che $R$ è il tensore degli sforzi di Reynolds del fluido, ma non è importante.

L'equazione per la quantità di moto del fluido si scrive come:
$\frac{\partial (\rho \vec v)}{\partial t} + \vec \nabla \cdot R = 0$
Dove il senso dell'equazione è questo: puoi fissare una componente qualsiasi e sostituire a $\vec v$ la quantità $v_i$ opportuna, e allora a $R$ sostituisci $\vec R_i$ .
Nel modo in cui l'ho detto può sembrare un procedimento artificioso, ma non lo è. Se tu fai un cambiamento di coordinate, e passi dalle coordinate $(\hat x, \hat y, \hat z)$ ad altre coordinate, puoi esprimere sia $\vec v$ che $R$ in questo nuovo sistema di coordinate e quell'equazione continua a restare valida. In questo senso è un'equazione vettoriale, e non vale solo per le tre direzioni $\hat x, \hat y, \hat z$ . Questa è una cosa importante che dà un senso fisico all'equazione che abbiamo scritto; perchè una formula fisica sia valida, deve essere vera in ogni sistema di coordinate e non solo in un sistema particolare.

Per vedere se hai capito come è fatto $R$ , dovresti capire facilmente che nel nostro caso è un tensore a due indici, e che indicando con $R_{ab}$ l'elemento del tensore della riga $a$ e colonna $b$ , si ha $R_{ab} = \rho v_a v_b + p \delta_{ab}$ dove il simbolo $\delta_{ab}$ è uguale a 1 se $a=b$ e nullo se $a \ne b$ .

modesto ha scritto:Anche se ora forse è opportuno che torni alle mie OEM e ai relativi problemi sns...

Ogni tanto guardare un po' oltre l'orizzonte può fare bene, ma esagerare è deleterio, perciò ha senso che torni a cose più umane

.

modesto · Messaggio da **modesto** » 11 feb 2012, 12:44

Sono stato molto gratificato dall' "avventura" in cui mi hai condotto. Però, prima di ritornare "in più spirabil aere" (per me), non posso non farti controllare se ho inteso abbastanza quello che hai chiamato il mostro incognito, l'assassino-tensore. Siano allora
$\vec R_x = (p+\rho.v_x^{2})\vec i + \rho v_x v_y \vec j + \rho v_x v_z \vec k=(R_{xx},R_{xy},R_{xz})$
$\vec R_y = \rho v_x v_y \vec i + (p+\rho v_y^{2})\vec j + \rho v_y v_z \vec k=(R_{yx},R_{yy},R_{yz})$ = $R$
$\vec R_z = \rho v_x v_z \vec i + \rho v_y v_z \vec j + (p +\rho v_z^{2})\vec k=(R_{zx},R_{zy},R_{zz})$
Ho scritto così perchè non so esprimere la matrice in Latex: però i terzi membri dovrebbero rappresentare, se ho capito, le righe della matrice $R$ che è poi il tensore. Questo sarebbe una matrice (3x3) a due indici, in cui il primo rappresenta il vettore ed il secondo la sua componente. Allora:

1) il prodotto scalare $\vec \nabla \cdot \vec R_{x(y)(z)}$ è il secondo membro delle nostre equazioni che con i versori diventano
$\frac{\partial(\rho v_x )}{\partial t}\vec i = - (\vec \nabla \cdot \vec R_x) \vec i$
$\frac{\partial(\rho v_y)}{\partial t}\vec j = - (\vec \nabla \cdot \vec R_y) \vec j$
$\frac{\partial (\rho v_z)}{\partial t}\vec k = - (\vec \nabla \cdot \vec R_z \vec k$
e dunque sarebbe
$\frac {\partial(\rho \vec v)}{\partial t} + (\vec \nabla \cdot \vec R_x)\vec i+ (\vec \nabla \cdot \vec R_y) \vec j + (\vec \nabla \cdot \vec R_z) \vec k = 0$
E' davvero simile alla versione che avevo dato con i prodotti rappresentati da $I,J,K$ . Si osserva che in termini di componenti scalari dovrebbe essere
$\frac{\partial(\rho \vec v)}{\partial t} = (-\frac{\partial R_{xx}}{\partial x}- \frac{\partial R_{xy}}{\partial y}- \frac {\partial R_{xz}}{\partial z},....)$ dal momento che $\vec \nabla = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})$

2) Con la matrice tensore $R$ interviene un prodotto fra matrici che ho trovato deve farsi righe per colonne dato che $\vec \nabla$ può riguardarsi come matrice (1x3). Allora (dubbio) dovrebbe però intervenire la cosiddetta "trasposta" di $R$ cioè $R^{T}$ ottenuta dalla data scambiando le righe con le colonne di $R$ . Le nostre equazioni sarebbero allora tutte rappresentate da
$\frac{\partial(\rho \vec v)}{\partial t}+ \vec\nabla \cdot R^{T}= 0$
ed in termini di componenti scalari si otterrebbero ancora le solite
$\frac{\partial(\rho \vec v)}{\partial t} = (-\frac{\partial R_{xx}}{\partial x}- \frac{\partial R_{xy}}{\partial y}- \frac {\partial R_{xz}}{\partial z},....)$

Messaggio da **Pigkappa** » 11 feb 2012, 22:05

1)Tutto ok.

2)Immaginavo conoscessi già le matrici, si dovrebbero fare al liceo scientifico e in qualunque scuola sensata...

Non capisco come mai vorresti coinvolgere la trasposta di $R$ . La matrice $R$ è simmetrica (cioè $R_{ab} = R_{ba}$ per ogni $a$ e $b$ , basta che guardi gli elementi della matrice e te ne accorgi), quindi è uguale alla sua trasposta: $R = R^T$ .

modesto · Messaggio da **modesto** » 13 feb 2012, 19:14

Pigkappa ha scritto:Immaginavo conoscessi già le matrici, si dovrebbero fare al liceo scientifico e in qualunque scuola sensata...

Non capisco come mai vorresti coinvolgere la trasposta di $R$ . La matrice $R$ è simmetrica .... quindi è uguale alla sua trasposta: $R = R^T$ .

Sì, è verissimo quello che dici rispetto al risultato pratico. Però continuo a credere che sia più corretto vederla come $R^{T}$ che come $R$ .
Quanto alla mia conoscenza delle matrici non è certo dovuta al liceo classico. Come ho scritto in altra circostanza, quello che ho imparato, diciamo nell'ultimo anno, lo devo essenzialmente a due libri (Halliday e Bianciardi Problemi di Fisica ed.libreriauniversitaria.it) e a due persone (la mamma docente di Analisi e, soprattutto,il Pigkappa). Così, almeno, penso io.

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