Campi di forze centrali

[Domenichino]

Quali sono le condizioni che permettono , in un campo di forze centrali , un moto periodico senza il " rischio" che il corpo cada nel centro delle forze o si allontani all'infinito?

[Pigkappa]

Se c'è una velocità trasversale, per la conservazione del momento angolare il corpo non può cadere nel centro delle forze.

Assumendo che la forza decresca velocemente con la distanza (così che tende a 0 all'infinito, e di solito è vero), se l'energia totale (cinetica + potenziale) del corpo è negativa allora non potrà arrivare all'infinito.

Affinchè si possa dire che il moto sarà periodico, però, serve risolvere esattamente le equazioni, e questo spesso è complicato. La condizione sull'energia basta soltanto a stabilire che il corpo rimane intrappolato nelle vicinanze del centro di forza.

[Ippo]

Se c'è una velocità trasversale, per la conservazione del momento angolare il corpo non può cadere nel centro delle forze

....a meno che il potenziale per non abbia una buca più ripida di : in quel caso è possibile che il corpo cada nel centro di forza se ci sono condizioni iniziali opportune (tipo se parte abbastanza vicino all'origine con energia abbastanza bassa), anche se ha una velocità trasversale. O al limite anche se il potenziale è proprio del tipo , con grande abbastanza.

Alle condizioni che diceva Pigkappa per la limitatezza del moto aggiungo poi il caso ovvio in cui va a per molto grande: in quel caso è chiaro che nessuna energia finita permette di scappare dalla buca.

Infine se ti interessa che il moto oltre che limitato sia anche periodico, c'è il teorema di Bertrand che afferma che i soli poteziali centrali per i quali tutte le orbite limitate sono anche chiuse (quindi periodiche) sono due, quello kepleriano () e quello armonico (). Anche altri potenziali ammettono orbite periodiche, ma solo per alcuni particolari valori delle condizioni iniziali e non in generale.

[Pigkappa]

....a meno che il potenziale per non abbia una buca più ripida di : in quel caso è possibile che il corpo cada nel centro di forza se ci sono condizioni iniziali opportune

Però il fatto che ci arrivi con velocità infinita è piuttosto allarmante, perchè vuol dire che bisogna passare ad una trattazione relativistica. Escludevo che si potessero considerare casi di questo tipo.

[Domenichino]

Ho trovato che la condizione matematica che consente il verificarsi di quanto scritto da me prima consiste nel tendere del potenziale efficace a più infinito al tendere della distanza del corpo dal centro delle forze a zero. Il potenziale efficace è la somma del potenziale gravitazionale e dell' energia cinetica dovuta alla componente della velocità ortogonale al vettore distanza . Eseguendo il limite di cui prima si trovano i valori dell' esponente a cui può essere elevata la distanza del corpo dal centro delle forze affinchè il corpo posto in un campo di forze centrali compia un moto periodico senza il " rischio" che il corpo cada nel centro delle forze o si allontani all'infinito